不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率： (1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品; (2) 第三次才取到次品; (3) 第三次取到次品.
解：用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2,3），则Ai表示事件“第i次取
15331421?,PA(A)12PAPA(?)(1A)21??? 20441938(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：
5P(A3A1A2)?。
18(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：
1514535P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)????
2019182281（3）事件“第三次取到次品”的概率为：
4此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。()1?到的是次品”（i?1,2,3）。PA再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2），
则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：P(A2A1)?1；而事件“第二次才取到次品”的概率为：P(A1A2)?P(A1)P(A2A1)?1。区别是2显然的。
1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。
解：用Ai(i?0,1,2)表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用B表示事件
“
从
第
二
箱
中
取
到
的
是
次
品
”。
则
2112C12C12?C2C266241P(A0)?2?,P(A1)??,P(A)??, 222C1491C1491C1491123P(BA)?P(BA)?1212，12，12，
根据全概率公式，有： P(BA0)?328
1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有P(B)?P(A0)P(BA0)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?50 颗以上麦粒的概率.
解：设Ai(i?1,2,3)表示事件“所用小麦种子为i等种子”， 。 B表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”
则P(A1)?0.92,P(A2)?0.05,P(A3)?0.03,P(BA1)?0.5，P(BA2)?0.15，
P(BA3)?0.1，根据全概率公式，有：
P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.47051122331.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。
解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由已知条件，显然有：
P(A)?0.51,P(A)?0.49,P(BA)?0.05,P(BA)?0.025,因此：
根据贝叶斯公式，所求概率为：
P(AB)?P(A)P(BA)P(AB)P(AB)102 ???P(B)P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)1511.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95,
非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率
解：用B表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则A表示非癌症患者，显然有：P(A)?0.005,P(A)?0.995,P(BA)?0.95,P(BA)?0.01, 因此根据贝叶斯公式，所求概率为：
P(AB)?P(A)P(BA)P(AB)P(AB)95 ???P(B)P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)2941.22 仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5
箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%. (1) 求该批产品的合格率;
(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、
乙、丙三厂生产的概率各是多少?
解：设，B1?{产品为甲厂生产},B2?{产品为乙厂生产},B3?{产品为丙厂生产},
A?{产品为合格品}，则
（1）根据全概率公式，P(A)?P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3)?0.94，该
批产品的合格率为0.94. （2）根据贝叶斯公式，P(B1A)?同理可以求得P(B2A)?192724,,。 949447P(B1)P(AB1)19 ?P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3)942724，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱,P(B3A)?9447中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：
1.23 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为
0.7， 0.8 和
0.9，求目标被击中的概率。
解：记A={目标被击中}，则P(A)?1?P(A)?1?(1?0.9)(1?0.8)(1?0.7)?0.994 1.24 在四次独立试验中, 事件A 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次独立试验中, 事件A发生一次的概率.
解：记A4={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，A4={四次独立试验，事件A
一
次
也
不
发
生
}
。
而
P(A4)?0.59，因此
P(A4)?1?P(A4)?P(AAAA)?P(A)4?0.4P(A)?0.8,P(A1)?1?0.8?0.2 0。所以96三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：
1C3P(A)(1?P(A))2?3?0.2?0.64?0.384。
二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充： （1） 排列组合公式 nPm?m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (m?n)!nCm?m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!(m?n)!（2）加法和乘法原理 （3）一些常见排列 （4）随机试验和随机事件 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。 （5）基本事基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。 件、样本空一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用间和事件 大写字母A，B，C，?表示事件，它们是?的子集。 ?为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件?的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件Ω的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A?B 如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为也可表示为A?AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事A?B，件。 （6）事件的关系与运算 A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B??，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ??A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合律：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配律：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 对偶律： A?B?A?B，A?B?A?B 设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 （7）概率的3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，?有 公理化定义 ????P???Ai????P(Ai)?i?1?i?1 常称为可列（完全）可加性。
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