13立体几何

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∵CE=

32，AC=1 , ∴CD=

22.∴DE?(CE)?(CD)22?12；

（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=∴AB1?1cos60232，BC=AC=1,∴∠B1AC=600

2?2，

∴BB1?(AB1)2?(AB)2?2,

∴ tg?B1CB?BB1BC?2 , ∴?B1CB?arctg.

说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.

例4、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=2a，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。 （1）求证：四边形EFCD为直角梯形； （2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值； （3）设SB的中点为M，当

CDABS的值是多少时，能使△DMC F为直角三角形？请给出证明. EM解：（1）∵ CD∥AB，AB?平面SAB ∴CD∥平面SAB 面EFCD∩面SAB=EF，

D∴CD∥EF ∵?D?90,?CD?AD,

A又SD?面ABCD

∴SD?CD ?CD?平面SAD，∴CD?ED又EF?AB?CD ?EFCD为直角梯形

（2）?CD?平面SAD,EF∥CD,EF?平面SAD

?AE?EF,DE?EF,??AED即为二面角D—EF—C的平面角

ED?CD,?Rt?CDE中EC?ED?CD

0CB222而AC2?AD2?CD?ED?AD??,且AC?EC

??ADE为等腰三角形，??AED??EAD2?tan?AED?2

(3)当

CDAB?2时，?DMC为直角三角形 .

AB2?AB?a,?CD?2a,BD??AD2?2a,?BDC?450 ?BC?2a,BC?BD,

平面ABCD,?SD?BC,?BC?平面SBD. 在?SBD中，SD?DB,M为SB中点，?MD?SB.

?MD?平面SBC,MC?平面SBC, ?MD?MC??DMC为直角三角形。

例5．如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于

?SD?点F.

（I）求证：A1C⊥平BDC1；

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（II）求二面角B—EF—C的大小（结果用反三角函数值表示）.

解法一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影. ∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD. 同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D, ∴A1C⊥平面BDC1.

（Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH， ?BE?BF?同理CH?EF.??BHC是二面角B?EF?C的平面角.22,?BH?EF.

又E、F分别是AC、B1C的中点，

?EF//?12AB1..??BEF与?CEF是两个全等的正三角形故BH?CH?32BF?64.,得2于是在?BCH中,由余弦定理BH2cos?BHC??CH2?BC(?64)?(64264?)?164??2132BH?CH132?13.13??BHC?arccos(?)???arccos故二面角B?EF?C的大小为??arccos.

解法二：（Ⅰ）以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0). D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)

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?CA1?(1,1,1,),BD?(1,?1,0),DC1?(?1,0,1).?CA1?BD?1?1?0,CA1?DC1??1?1?0.即CA1?BD,CA1?DC1又BD?DC1?D,?A1C?平面BDC1.

（Ⅱ）同（I）可证，BD1⊥平面AB1C. 则?A1D,D1B?就是所求二面角的平面角补角的大小.?A1C?(?1,?1,?1),D1B?(?1,1,?1),?cos?A1C,D1B???13?3?13.13.A1C?D1B|A1C|?|D1B|

故二面角B?EF?C的大小为??arccos

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