2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及精析
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2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及
精析
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每个小题所给四个选项中只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
x2（1）极限lim[]x等于 （ ）
x??(x?a)(x?b)?Skip Record If...?1； ?Skip Record If...??Skip Record If...?； ?Skip Record If...??Skip Record If...?； ?Skip Record If...??Skip Record If...?。 [解答]
?Skip Record If...?
，选?Skip Record If...?。
确定，其中?Skip Record
等于
?Skip Record If...?
（2）设函数?Skip Record If...?由方程
?Skip Record If...?
If...?为可微函数，且?Skip Record If...?，则
（ ） [解答] 两边对?Skip Record If...?求偏导，得，
?Skip Record If...??Skip Record If...?解得
；
?Skip Record If...?
两边对?Skip Record If...?求偏导，得，解得
?Skip Record If...??Skip Record If...?
，于是，选?Skip Record If...?。
?Skip Record If...??Skip Record If...?
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（3）设?Skip Record If...?为正整数，则反常积分（ ）
的收敛性
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?仅与?Skip Record If...?有关；?Skip Record If...?仅于?Skip Record If...?有关；?Skip Record If...?与?Skip Record If...?都有关；?Skip Record If...?与?Skip Record If...?都无关。 ［解答］显然广义积分
?Skip Record If...?
Record If...?，
，
?Skip Record If...?显然收敛性与?Skip Record If...?有关，当?Skip Record If...?时收
?Skip Record If...?敛，当?Skip Record If...?时发散；
?Skip Record If...?
（4）等于 （ ）
?Skip Record If...?
；?Skip Record If...?； ?Skip Record If...?
?Skip Record If...??Skip Record If...?
；?Skip Record If...?。 ?Skip Record If...?
?Skip Record If...??Skip Record If...?
［解答］，
?Skip Record If...?
因为，
?Skip Record If...?
，
?Skip Record If...?所以，
?Skip Record If...?选?Skip Record If...?。
的收敛性与?Skip Record If...?有关，选?Skip Record If...?。
有两个瑕点?Skip Record If...?与?Skip
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（5）设?Skip Record If...?是?Skip Record If...?矩阵，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?矩阵，且?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为?Skip Record If...?阶单位矩阵，则（ ）
?Skip Record If...??Skip Record If...?；?Skip Record If...??Skip Record If...?； ?Skip Record If...??Skip Record If...?；?Skip Record If...??Skip Record If...?。 ［解答］
?Skip Record If...?，
因为?Skip Record If...?且?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?， 又显然?Skip Record If...?，故?Skip Record If...?，选?Skip Record If...?。
（6）设?Skip Record If...?是４阶实对称矩阵，且?Skip Record If...?，若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?相似于 （ ） ?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
；?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
；?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
。 ；
［解答］令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，因为?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，
所以?Skip Record If...?，从而?Skip Record If...?，注意到?Skip Record If...?是非零向量，所以?Skip Record If...?的特征值为?Skip Record If...?和?Skip Record If...?，又因为?Skip Record If...?可对角化的矩阵，所以?Skip Record If...?的秩与?Skip
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Record If...?的非零特征值个数一致，所以?Skip Record If...?的特征值为?Skip Record If...?，于是
?Skip Record If...?
（7）设随机变量?Skip Record If...?的分布函数为
?Skip Record If...?
Record If...?等于 （ ） ?Skip Record If...?； If...?
［解答］］
?Skip Record If...?
；
?Skip Record
，则?Skip
，选?Skip Record If...?。
； ?Skip Record If...?。
，选?Skip Record If...?。
?Skip Record If...?
（8）设?Skip Record If...?为标准正态分布的概率密度函数，?Skip Record If...?为?Skip Record If...?上均匀分布的概率密度函数，若
（?Skip
?Skip Record If...?
Record If...?），则?Skip Record If...?满足 （ ）
?Skip Record If...?； ?Skip Record If...?； ?Skip Record If...?； ?Skip Record If...?。
［解答］，
?Skip Record If...?
，
?Skip Record If...?
因为?Skip Record If...?为概率密度函数，所以，
?Skip Record If...?而， ?Skip Record If...?
所以，即?Skip Record If...?，选?Skip Record If...?。
?Skip Record If...?
二、填空题
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