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圆锥曲线综合训练题
一、求轨迹方程：
x2y21、（1）已知双曲线C1与椭圆C2：??1有公共的焦点，并且双曲线的离心率e1与椭
36497圆的离心率e2之比为，求双曲线C1的方程．
3（2）以抛物线y?8x上的点M与定点A(6,0)为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程．
（1）解：C1的焦点坐标为(0,?13).e2?21313e7由1?得e1?设双曲线的方程为73e23?a2?b2?13yxy2x2?2222??1(a,b?0)则?a?b??1 13 解得a?9,b?4 双曲线的方程为
94a2b2??9?a222x0?6?x???x0?2x?6?2（2）解：设点M(x0,y0),P(x,y)，则?，∴?．
yy?2y?0?y?0??222代入y0?8x0得：y?4x?12．此即为点P的轨迹方程．
2、（1）?ABC的底边BC?16，AC和AB两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．（2）△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=求点A的轨迹方程．
解： （1）以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为?x，y?，BC中点为原点建立直角坐标系．由GC?GB?20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a?10，
3sinA,5x2y2??1?y?0?．设A?x，y?，G?x?，y??，则c?8，有b?6，故其方程为
10036??xx?，?x?2y?2?3??1?y??0?． ①由题意有?代入①，得A的轨迹方程为
y10036?y???3?x2y2??1?y?0?，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）． 900324精品文档
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（2）分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=
33sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA 553∴AB?AC?BC
5即AB?AC?6 （*）
∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
x2y2??1 （x>3） 所求轨迹方程为
916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M（-4，1）分别射向直线y= -2上两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）
x2y2后，反射光线恰好通过椭圆C：2?2?1（a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离
ab心率为
61，且x2-x1=，求椭圆C的方程. 25x2y2?2?1. 解：设a=2k，c=k，k≠0，则b=3k，其椭圆的方程为24k3k 由题设条件得：
0?21?(?2)?， ①
?k?x1?4?x10?21?(?2)?， ②
?k?x2?4?x2x2-x1=
6， ③ 5x2y211??1. 由①、②、③解得：k=1，x1=?，x2=-1，所求椭圆C的方程为4354、在面积为1的?PMN中，tanM?1，tanN??2，建立适当的坐标系，求出以M、2N为焦点且过P点的椭圆方程．
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解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x,y)． ?y?x?c??2,则?∴1?y?,??x?c2?cy?1.??∴所求椭圆方程为4x2y2??1 1535?x??52?3cP(,)∴即?233?y?4c且c?3?2?34?25??1,?215??12a23b2?a?,得4 ??3?a2?b2?,?b2?3.??4?5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为（4，0）． （1）求线段PQ的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ的平分线交PQ于点R（O为原点），求点R的轨迹方程． 解：（1）设线段PQ的中点坐标为M（x，y），由Q（4，0）可得点P（2x-4，2y），代入圆的方程x2+y2=4可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1. （2）设点R（x，y），P（m，n），由已知|OP|=2，|OQ|=4，∴
|OP|1?，由角平分线|OQ|2性质可得
|OP||PR|11?=，又∵点R在线段PQ上，∴|PR|=|RQ|，∴点R分有向线|OQ||RQ|221?m??4?2m?423x?4???x?m?13??1?1?2段PQ的比为，由定比分点坐标公式可得?，即，∴?23y?2?n?1?n??0?2?2n?y?2??131??2??3x?43y??3x?4??3y?, ?，代入圆的方程x2+y2=4可得?点P的坐标为??????4， 222?????2?2216164?4??? 即?x??+y2=（y≠0）. ∴点R的轨迹方程为?x??+y2=（y≠0）.
993?3???6、已知动圆过定点?1,0?，且与直线x??1相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C的方程；(2) 是
22uuuvuuuv否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P,Q两点，且满足OP?OQ?0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）如图，设M为动圆圆心， F?1,0?，过点M作直线x??1的垂线，垂足为N，
由题意知：MF?MN， 即动点M到定点F与定直线x??1的距离相等，由抛物
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线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F?1,0?为焦点，x??1为准线， ∴ 动点
R的轨迹方程为y2?4x
（2）由题可设直线l的方程为x?k(y?1)(k?0)，
?x?k(y?1)2由?2得y?4ky?4k?0 ?y?4x2 △?16k?16?0，k??1或k?1
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则y1?y2?4k，y1y2?4k uuuruuuruuuruuur 由OP?OQ?0，即 OP??x1,y1?，OQ??x2,y2?，于是x1x2?y1y2?0，
222即k2?y1?1??y2?1??y1y2?0，(k?1)y1y2?k(y1?y2)?k?0，
4k?k?0，解得k??4或k?0（舍去） 4k(k?1)?kg，
又k??4??1， ∴ 直线l存在，其方程为x?4y?4?0
222y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2.（I）求此双曲线的渐近7、设双曲线2?3a线l1、l2的方程；（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双??曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解：（I）?e?2，?c?4a ?c?a?3，?a?1，c?2 22223x2x ?1，渐近线方程为y?? ?双曲线方程为y?332 4分
（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y ???2|AB|?5|F1F2|?|AB|?55|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10
33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y23333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33又y1???3(y1?y2)?2?3???(x1?x2)??10?3?2精品文档
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1x23y22??1 ?3(2y)?(2x)?100，即375252 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为（9分）
（III）假设存在满足条件的直线l 设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)
103的椭圆.3???OP·OQ?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?k2(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?02?y?3?1k?3?0 由（i）（ii）得?6k23k2?3则x1?x2?2，x1x2?2(ii)3k?13k?1 ∴k不存在，即不存在满足条件的直线l.
x2y2??1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对8、设M是椭圆C:124称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．
解：设点的坐标M(x1,y1),N(x2,y2)(x1y1?0),E(x,y),
则P(?x1,y1),Q(?x1,?y1),T(x1,?y1),……1分
?x12???12 ?2?x2???12y12?1,LLLL(1)14………3分 由（1）－（2）可得kMN?kQN??.…
23y2?1.LLLL(2)4x1y,所以kQN?1.直线QN的方程为y13x16分又MN⊥MQ，kMN?kMQ??1,kMN??精品文档
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