2016年专项练习题集-简单复合函数的导数

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2016年专项练习题集-简单复合函数的导数 一、选择题

1.函数y＝cos3x＋sinx的导数为( )

cosx A．－3sin 3x＋

2xcosx B．3sin 3x＋

2xsinx C．－3sin3x＋

2xcosx D．3sin 3x－

2x【分值】5分 【答案】A

【易错点】解答此类问题常犯两个错误：

(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数．

(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的加法法则。 【解题思路】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导。 【解析】y′＝－sin 3x·(3x)′＋cos x·(x)′

11cosx＝－3sin3x＋·cosx＝－3sin 3x＋. 2x2x2.函数y＝2xln(2x＋1)的导数为( ) A．ln(2x＋1)－

4x 2x?14x 2x?1

B．2ln(2x＋1)＋

C．2xln(2x＋1) D.

4x 2x?1【分值】5分 【答案】B

【易错点】忽略对复合函数的内层函数求导致误．

【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的乘法法则。 【解题思路】按照导数的乘法法则展开，然后再对展开式中的复合函数求导。

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【解析】y′＝[2xln(2x＋1)]′＝(2x)′ln(2x＋1)＋2x[ln(2x＋1)]′＝2ln(2x＋1)＋2x·

14x·(2x＋1)′＝2ln(2x＋1)＋. 2x?12x?13.函数y＝cos 2x-sin 2x的导数是( )

π??A．-22 cos?2x－?

4??B．cos 2x－sin 2x C．sin 2x＋cos 2x π??D．-22cos?2x＋? 4??【分值】5分 【答案】A

【易错点】忽略对复合函数的内层函数求导致误．

【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的减法法则。 【解题思路】按照导数的减法法则展开，然后再对展开式中的复合函数求导。

【解析】∵y′＝(cos2x－sin2x)′＝(cos2x)′－(sin2x)′＝-sin2x·(2x)′-cos2x·(2x)′＝-2sin2x-2 cos 2x＝-22?

4

π?2?2??

cos2x＋sin2x?＝-22cos?2x－4?，故选A.

??2?2?

4

4.若函数为f(x)＝cosx－sinx，则f′(

A.2 B. -2 C.1 D.-1 【分值】5分 【答案】B

?)＝( )． 4【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数。 【易错点】不能对函数关系式准确化简致误．

【解题思路】先应用三角公式化简，再对复合函数求导。

【解析】∵f(x)＝cosx－sinx＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＝cos 2x，

∴f′(x)＝(cos 2x)′＝(－sin 2x)·(2x)′＝-2 sin 2x,f′(5.曲线y＝e

－3x4

4

2

2

2

2

?)=-2. 4-2在点(0，-1)处的切线方程为( )．

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A.3x-y-1＝0 B.3x＋y-1＝0 C.3x＋y+1＝0 D.3x-y+1＝0 【分值】5分 【答案】C

【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数．

【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数、导数的几何意义。 【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。 【解析】因为y′＝e即3x＋y+1＝0. 二、填空题

16.已知函数f（x）＝3，则f(1)+f′(1)= . （2x－1）【分值】5分 【答案】C

【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数．

【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及求值。 【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。

1－3【解析】函数y＝和u＝2x－1的复合函数， 3可看作函数y＝u（2x－1）

6－3－4－4

∴y′x＝y′u·ux′＝(u)′(2x－1)′＝－6u＝－6(2x－1)＝－4.

（2x－1）

－3x(－3x)′＝－3e

－3x，所以y′|x＝0＝－3，故切线方程为y+1＝－3(x－0)，

f(1)+f′(1)=1-6=-5.

7.函数y＝sin xcos nx的导数为 ． 【分值】5分 【答案】nsin

n－1nx cos[(n＋1)x]

【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数．

【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的乘法法则。

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【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。 【解析】y′＝(sinx)′cos nx＋sinx(cos nx)′

＝nsin＝nsin＝nsin＝nsin8.曲线y＝

n－1

nnx·(sin x)′·cos nx＋sinnx·(－sin nx)·(nx)′ x·cosx·cos nx－sinnx·sin nx·n x(cos xcos nx－sin xsin nx) x cos[(n＋1)x]． x在点（n－1

n－1

n－1

1－1－x33，）处的切线的倾斜角为 。 42【分值】5分 【答案】nsin

n－1

x cos[(n＋1)x]

【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数．

【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的几何意义。

【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导，求得f?()的值后再研究切线的倾斜角。

34xx（1＋1－x）

【解析】y＝＝ 1－1－x（1－1－x）（1＋1－x）

＝

x（1＋1－x）

＝1＋1－x.

1－（1－x）

设y＝1＋u，u＝1－x，

则y′＝yu′·ux′＝(1＋u)′·(1－x)′ ＝

1

·(－1)＝－. 2u21－x1

33?。 ?f?()??1,即切线斜率为-1，则切线的倾斜角为

44三、解答题

9．求下列函数的导数．

(1)y＝1?3x2；(2)y＝e【分值】10分 【答案】（1）

cos x；(3)y＝5log2(-2x＋1)．

?3x1?3x2 （2）-e

sin x10

cos x （3）-

（2x＋1）ln 2

【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个

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是外层函数，做到层次分明，心中有数． 【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数。

【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。 【解析】(1)设y＝u，u＝1－3x，

122

1?1则y′＝(u)′(1－3x)′＝u2·(－6x)

22

121?3x12?2＝(1?3x)(－6x)＝。

221?3x(2)设y＝e，u＝cos x，

则yx′＝yu′·ux′＝e·（-cos x）＝-e(3)设y＝5log2u，u＝-2x＋1， 则y′＝yu′·ux′＝-10.已知函数f(x)＝

1010

＝-.

uln 2（2x＋1）ln 2

usin xucos x.

axx2＋b，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线

l的斜率k的取值范围．

【分值】10分 【答案】见解析

【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数．

【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的几何意义。 【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。

a（x2＋b）－ax（2x）ab－ax2

【解析】 (1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝＝2222.

（x＋b）（x＋b）

因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．

ab－a＝0，

?

??f′（1）＝0，?1＋b≠0，4x所以?即?所以a＝4，b＝1，所以f(x)＝.

x＋1?f（1）＝2，?a??1＋b＝2，

2

4－4x4－4x0

(2) 因为f′(x)＝22，所以直 l的斜率k＝f′(x0)＝22＝

（x＋1）（x0＋1）

22

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21?1??1?12

4?2，令t＝2，t∈(0，1]，则k＝4(2t－t)＝8?t－?－，所以2－2?x0＋1?（x0＋1）x0＋1??4?2

2

??k∈?－，4?.

?

1?2

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