高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示高效演练分层突破文新人教A版

高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及

坐标表示高效演练分层突破文新人教A版

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

[基础题组练]

1．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，

λ2)为( )

A．(1，1) C．(－1，－1)

B．(－1，1) D．(1，－1)

解析：选B.因为e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，

?2λ1＋λ2＝－1，?λ1＝－1，??

3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a＝(－1，2)，所以?解得?

???λ1＋3λ2＝2，?λ2＝1.

故选B.

2．(2020·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与

b＝e1－λe2共线，则λ＝( )

1

A. 3C．－3

1B．－

3D．3

解析：选B.法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1

－λe2)．

1故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.

3故选B.

法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底， 1－λ1

故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.

－3－13故选B.

→→

3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，OA＝(2，4)，OB＝(1，→→

3)，若点E满足OC＝3EC，则点E的坐标为( )

2?1??2?1

A.?－，－? B.?－，－?

3?3??3?3

?11?C.?，?

?33??22?D．?，? ?33?

→→→→

解析：选A.易知OC＝OB－OA＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3EC＝3(－

?－3－3x＝－1，→→?

1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由OC＝3EC知?

?－3－3y＝－1，?

2

x＝－，??32??2所以?所以E?－，－?.

3??32

y＝－，??3

4．(2020·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是

λ→→→

△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设AD＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则＝( )

μA.23

3

B.3 3

C．3 D．23

解析：选A.如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，

因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，3m)(m≠0)． →

AD＝(m，3m)＝λAB＋μAC＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝

→→

32

m，

λ23所以＝.

μ3

5．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝ ．

解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．

因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线， 所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.

答案：2

→→→

6．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为 ．

→→→

解析：设P(x，y)，则由AP＝AB＋λAC，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)2

＝0，解得λ＝－. 3

2

答案：－

3

→→→

7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，

μ∈R，则λ＋μ＝ ．

→→

解析：选择AB，AD作为平面向量的一组基底， →→→→1→→→→1→则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，

22

1

λ＋μ＝1，??211→→→??→??→

又AC＝λAE＋μAF＝?λ＋μ?AB＋?λ＋μ?AD，于是得?

2??2??1

??λ＋2μ＝1，

2λ＝，??34解得?所以λ＋μ＝. 32

μ＝，??34答案： 3

→→→

8．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，OM＝t1OA＋t2AB. (1)求点M在第二或第三象限的充要条件；

(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线． →→→

解：(1)OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．

??4t2＜0，

点M在第二或第三象限??

??2t1＋4t2≠0，

解得t2＜0且t1＋2t2≠0.

故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.

→

(2)证明：当t1＝1时，由(1)知OM＝(4t2，4t2＋2)．

→→→

因为AB＝OB－OA＝(4，4)， →

AM＝OM－OA＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2AB，

所以A，B，M三点共线．

[综合题组练]

1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基

→→→

底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为( )

A．(2，0) C．(－2，0)

B．(0，－2) D．(0，2)

解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)， 即a＝－2p＋2q＝(2，4)， 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，

??－x＋y＝2，??x＝0，所以?即?

??x＋2y＝4，y＝2.??

所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．

→→

2.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O︵→→→

为圆心的圆弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是( )

A．1 C.3

B.2 D．2

︵→2→→222

解析：选B.因为点C在以O为圆心的圆弧AB上，所以|OC|＝|xOA＋yOB|＝x＋y＋→→22

2xyOA·OB＝x＋y，

所以x＋y＝1，则2xy≤x＋y＝1. 又(x＋y)＝x＋y＋2xy≤2， 故x＋y的最大值为2.

→→→

3．设OA＝(－2，4)，OB＝(－a，2)，OC＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，

2

2

2

2

2

2

2

C三点共线，则＋的最小值为 ．

ab→→

解析：由已知得AB＝(－a＋2，－2)，AC＝(b＋2，－4)， 因为A，B，C三点共线，

所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，

??－a＋2＝λ（b＋2），即?整理得2a＋b＝2， ?－2＝－4λ，?

11

111?11?1?2ab?1?所以＋＝(2a＋b)?＋?＝?3＋＋?≥?3＋2

ba?2?ab2?ab?2?－2，b＝22－2时等号成立)．

3

答案：＋2

2

2ab?3

·?＝＋2(当且仅当a＝2ba?2

4．(2020·黑龙江大庆二模)已知W为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，→→→

设AW＝λ1AB＋λ2AC，则2λ1＋λ2＝ ．

解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．

根据已知条件可知A(0，0)，B(4，0)，C(－1，3)． 根据外心的性质可知点W在直线x＝2上(如图所示)．

3??1

易知线段AC中点的坐标为?－，?，直线AC的斜率为－3，故线段AC的中垂线l?22?的斜率为333?1?(如图所示)，方程为y－＝?x＋?. 323?2?

43?4?令x＝2，解得y＝，故W?2，3?.

3?3?

→→→?4?

由AW＝λ1AB＋λ2AC得?2，3?＝λ1(4，0)＋λ2(－1，3)，

?3?

??

即?解得 4?43λ2＝3，?3λ2＝.???

3

54

所以2λ1＋λ2＝＋＝3.

33答案：3

?4λ1－λ2＝2，

?

λ1＝，56