∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN．又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°， ∴△DBM≌△DFN．∴BM=FN．∵BF=EF， ∴MF=EN． 法三：连结DF，NF． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AC． 又∵D，E，F是三边的中点， ∴DF为三角形的中位线，∴DF=又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN． 在△DBM和△DFN中，DF=DB，
11AC=AB=DB． 22DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°．又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形， ∴∠DFE=60°．∴可得点N在EF上， ∴MF=EN．
（3）画出图形（连出线段NE），
ANMF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．
DE
10、（2010丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形BOMNH，点FH的坐标为C M（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形．．．BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出 ．．此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
y
H（-8，0）O x
MN（-6，-4）
第26题图
解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． ∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
A F
H －8 O
→ E C x
D B y ↑
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为y?ax?bx?c，
∵抛物线过点A（0，4），∴c?4．则抛物线关系式为y?ax?bx?4． 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
221?a??，?123?36a?6b?4?4，?4，解得，所求抛物线关系式为：y??x?x?4． ??42?64a?8b?4?0．?b?3．??2（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．
∴S四边形EFGB?S梯形ABCO?S△AGF?S△EOF?S△BEC ? ?1111OA（AB+OC）?AF·AG?OE·OF?CE·OA 22221111?4?（6?8）?m(4?m)?m(8?m)??4m 22222 ?m?8m?28 （ 0＜m＜4）
∵S?(m?4)?12． ∴当m?4时，S的取最小值． 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． （4）当m??2?26时，GB=GF，当m?2时，BE=BG．
11、（2010德化）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为
(2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平
行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时．．．．．
间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
5① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
2② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
y y M M
N
C B C B 2· P D O (A) E x D O A E x
解：（1）y??x?4x （2）①点P不在直线ME上；
②依题意可知：P（t,t），N（t，?t?4t）
当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：
22S?S?PCD?S?PNC
112=1CD?OD+1PN?BC=?3?2+?t2?4t?t?2=?t?3t?3
2222??=?(t?)?32221 43321，且0＜t＜＜3时，S最大= 224∵抛物线的开口方向：向下，∴当t=
当t?3或0时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得，S?11S矩形ABCD=?2?3=3 2221． 4综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值
212、（2010德州）已知二次函数y?ax?bx?c的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
y Q O M A N x
解：（1）∵二次函数y?ax?bx?c的图象经过点C(0，-3)，∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入y?ax?bx?c得
22?0?9a?3b?3，2解得：a=1，b=-2．∴y?x?2x?3． ???3?4a?2b?3.（x?1）?4，所以对称轴为x=1． 配方得：y?(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t． ∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E． 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1． 解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形． ②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1． 又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ． ∴MF=MG．∴点M为FG的中点，∴S=S四边形ABPQ-S?BPN， =S四边形ABFG-S?BPN．由S四边形ABFG?2S?BPN19(BF?AG)FG=．
2211393?BP?FG?t．∴S=?t．又BC=2，OA=3，
2402240∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒． ∴0 13、（2010东阳）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP 交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求： （1）C的坐标为 ▲ ； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式； 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。 解：（1）Ｃ（４，１）； （2）当∠MDR＝45时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0） 当∠DRM＝45时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0） （3）Ｓ＝－ ００ y D A P N O B H C x R M 1２1２ ｔ＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ－２ｔ（ｔ＞４） 223913当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，Ｓ＝32 499当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，Ｓ＝ 82111当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝3，Ｓ＝ 18 14、（2010恩施）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式． （2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使 /2
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