2020版新高考理科数学考前专题强化训练：(十六) 解三角形 Word版含解析

2020版新高考理科数学考前专题强化训练

(十六) 解三角形

1．[2019·天津卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a,3csinB＝4asinC.

(1)求cosB的值； π??

(2)求sin?2B＋?的值．

6??解：(1)在△ABC中，由正弦定理

bsinB＝

csinC，得bsinC＝csinB，又由3csinB42

＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.又因为b＋c＝2a，得到b＝a，c＝

33

a.由余弦定理可得

16

9a＋c－b1

cosB＝＝＝－.

2ac24

2·a·a3

2

2

2

a2＋a2－a2

49

15

(2)由(1)可得sinB＝1－cosB＝，

4

2

从而sin2B＝2sinBcosB＝－

15， 8

7

cos2B＝cos2B－sin2B＝－，

8

π?ππ15371?2B＋?＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－故sin?×－×＝－

6?668282?35＋7

. 16

2．[2019·石家庄一模]已知△ABC的面积为33，且内角A，B，C依次成等差数列．

(1)若sinC＝3sinA，求边AC的长；

(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值． 解：(1)∵△ABC三个内角A、B、C依次成等差数列， ∴B＝60°.

设A、B、C所对的边分别为a、b、c，

1

由△ABC的面积S＝33＝acsinB可得ac＝12.

2

∵sinC＝3sinA，由正弦定理知c＝3a， ∴a＝2，c＝6.

在△ABC中，由余弦定理可得

b2＝a2＋c2－2accosB＝28， ∴b＝27，即AC的长为27. (2)∵BD是AC边上的中线， 1→→→

∴BD＝(BC＋BA)，

2

1111

∴→BD2＝(→BC2＋→BA2＋2→BC·→BA)＝(a2＋c2＋2accosB)＝(a2＋c2＋ac)≥(2ac4444＋ac)＝9，当且仅当a＝c时取“＝”，

∴|→BD|≥3，即BD长的最小值为3.

3．[2019·合肥质检二]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝2csinC，△ABC的面积S＝abc.

(1)求角C；

(2)求△ABC周长的取值范围．

1

解：(1)由S＝abc＝absinC可得2c＝sinC，

2∴sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝sin2C， 由正弦定理得a2＋b2＋ab＝c2， 12π

由余弦定理得cosC＝－，∴C＝. 23(2)由(1)知2c＝sinC，同理可知2a＝sinA， 2b＝sinB. △ABC的周长为

1

2

a＋b＋c＝(sinA＋sinB＋sinC) 13?π?

＝[sinA＋sin?－A?]＋ 24?3??1?331

＝?sinA＋cosA－sinA?＋ 2?22?4?1?133

＝?sinA＋cosA?＋ 2?22?4π?13?

＝sin?A＋?＋.

3?42?

π?π?π2π??

∵A∈?0，?，∴A＋∈?，?，

3?3?3?3?π??3??

∴sin?A＋?∈?，1?，

3??2??

?32＋3?

?. ∴△ABC周长的取值范围为?，24??

4．[2019·武汉4月调研]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝10

4

，B＝2A，b＝15.

(1)求a；

(2)已知M在边BC上，且

CMMB＝1

2

，求△CMA的面积． 解：(1)由0

4，知sinA＝4，

∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝2×6104×4＝15

4

， 由正弦定理

asinA＝

bcsinB＝

sinC可知，

a＝bsinAsinB＝6.

(2)cosB＝cos2A＝2cos2

A－1＝2×??

10??4?2?

－1＝1

4， sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝61101536

4×4＋4×4＝8，△ABC的面积S1136915

△ABC＝2ab·sinC＝2×6×15×8＝8

，

又CMMB＝111915315

2，∴S△CMA＝3S△ABC＝3×8＝8

. 5．[2019·济南模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsinC＝acosC＋ccosA，B＝

2π

3

，c＝3. (1)求角C；

(2)若点E满足→AE＝2→EC，求BE的长． 解：(1)解法一：由题设及正弦定理得 2sinBsinC＝sinAcosC＋sinCcosA，

又sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB，

所以2sinBsinC＝sinB.

31

由于sinB＝≠0，所以sinC＝.

22又0

ππ，所以C＝. 36

解法二：由题设及余弦定理可得

a2＋b2－c2b2＋c2－a2

2bsinC＝a×＋c×，

2ab2bc化简得2bsinC＝b. 1

因为b>0，所以sinC＝.

2又0

ππ，所以C＝. 36

解法三：由2bsinC＝acosC＋ccosA， 结合b＝acosC＋ccosA，可得2bsinC＝b. 1

因为b>0，所以sinC＝.

2ππ

又0

36(2)解法一：由正弦定理易知

bsinB＝

csinC＝23，解得b＝3.

22

又→AE＝2→EC，所以AE＝AC＝b，即AE＝2.

332π

在△ABC中，因为∠ABC＝π，C＝，

36所以A＝

π

， 6

π

所以在△ABE中，A＝，AB＝3，AE＝2，

6由余弦定理得

BE＝AB2＋AE2－2AB·AEcos＝

3

＝1， 2

π6

3＋4－2×3×2×所以BE＝1.

2ππ

解法二：在△ABC中，因为∠ABC＝π，C＝，所以A＝，a＝c＝3.

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