临沂三中高二理科数学竞赛试题（二）

临沂三中高二理科数学竞赛试题（二）

一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1.如果命题“p?q”与“?p”都是真命题，那么（ ） A.命题p不一定是假命题 B.命题q一定为真命题

C.命题q不一定为真命题 D. 命题p与命题q的真假相同 2. 命题“若a?b，则a?c?b?c”的逆否命题是( )

A. 若a?c?b?c，则a?b B. 若a?c?b?c，则a?b C. 若a?c?b?c，则a?b D. 若a?c?b?c，则a?b

x2y23．双曲线???1的渐近线方程是（ ）

49 A．y??3294x B．y??x C．y??x D．y??x 2349x2

4. 下列命题中，真命题是（ ）

A.x0∈R, ex0≤0. B.x∈R,2＞x.

C、a?b?0的充要条件是b=-1. D、a＞1,b＞1是ab?1的充分条件

ax2y2???1，则“4?k?5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的( )条件 5. 曲线C：

k?53?kA．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要

x2y26. 设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是C上的点，PF2?F1F2，

ab?PF1F2?30，则C的离心率为（ ） （A）1133 （B） （C） （D） 32637. 点B(?4,0),C(4,0)，且?ABC的周长为18，则顶点A的轨迹方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1（B）??1(x??5) ?1 （C）??1(x??5) （D）? （A）

259925925259x2y238．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点为F、，离心率为，过F2的直线l交C于A、F12ab3B两点，若?AF1B的周长为43，则C的方程为（ ）

x2y2x2x2y2x2y22??1 B．?y?1 C．??1 D．??1 A、3231281249. “若AB，则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（ ） A.0 B.2 C.3 D.4

x2y2+?1上有一点P，F1,F2分别为椭圆左、右焦点，?F1PF2为直角三角形，则10. 在椭圆

4020这样的点P有（ ）个 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8

二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

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x2y2?1(a?5)的两焦点分别是F1，F2，且∣F1F2∣=8,弦AB过F1，则?ABF2的11. 已知椭圆2? a25周长是

12. 命题：对任意?x?R，x-x+10的否定是

3

2

x2y2??1的右焦点，且倾斜角为450的弦AB的长为 13. 过椭圆

259x2y214. 双曲线2?2?1的一条渐近线方程为4x?3y?0，则双曲线的离心率为

ab15.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在?ABC中，“?B?60?”是“?A,?B,?C三个角成等差数列”的充要条件.③已知条件p：x?y?3，条件q：x?1或y?2，则p是条件q的充分不必要条件；④“a?b?0”是“a?b”的充要条件.以上说法中，判断错误的有____

????三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(12分) 在圆x2+y2?4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？ 17．（12分）已知命题p：曲线y?x?(2m?3)x?1与x轴相交于不同的两点；已知命题q：方程

2x2y2“p或q”是真命题，求m取值范围． ??1表示焦点在y轴上的椭圆；若“p且q” 是假命题，

2mm?118. (12分) 已知点P是椭圆16x?25y?1600上一点，且在x轴上方，F1,F2分别是椭圆的左、右两

个焦点，直线PF2的斜率为?43，求S?F1PF2

19. (12分)已知椭圆4x?y?1，焦点F1(0,c),F2(0,?c)(c?0)（1）已知直线l1:y?x?m，当直线与椭圆有公共点时，求m的范围；（2）过其上焦点F1做弦AB?y轴，求|AB|； （3）设直线l2斜率为k且被椭圆所截弦CD中点M(,)，求CD的方程。

22221144x2yE：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于20. (13分) 设F1,F2分别是椭圆

abA,B两点，|AF1|?3|BF1|，（I）若|AB|?4,?ABF2的周长为16，求|AF2|；（II）若3cos?AF2B?，求椭圆E的离心率.

52x2y2221．(14分) 已知椭圆C：2+2=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)

ab2与椭圆C交于不同的两点M,N。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为10时，求k的值 3第2页（共4页）

高二数学参考答案（一） 一、BCACA DABBD

二、 441 13、 2 14、 22 15、

5 16、 ④ 32三、解答题

17．设命题p：x?2x?2?1所表示的集合为A??x|x??1或x?3?

命题q：0?x?4.所表示的集合为B??x|0?x?4?

?“p?q”为真， “p?q”为假，

?x??1或x?3（1）p真q假则?解得x??1或x?4 ?p真q假，或p假q真，

?x?0或x?4（2）p假q真则???1?x?3解得0?x?3，综上?x|x??1或0?x?3或x?4?

0?x?4???18． ka?b?(k?1,5k?3,?k?5)a?3b?(7,?4,?16) （1）?ka?b//a?3b?????k?25k?3?k?51??解得k?? 7?4?163106 3（2）?ka?b?a?3b?7(k?2)?4(5k?3)?16(?k?5)?0解得k?19. 解：（1）取AC中点为原点建立空间直角坐标系，则

13311A(0,?,0),B1(,0,2),M(,,0)设N(0,,m)22442??3131则AB1?(,,2),MN(?,,m)2244

??3111?AB1?MN????2m?0?N(0,,)88281?|CN|?8?3131（2）?B(,0,0),A(0,?,0)?BA1?(?,?,2)

2222?1331?A(0,,0),B1(,0,2)?CB1?(,?,2)2222???317??BA1?CB1????4?,|BA1|?5,|CB1|?5

4427??7?cosBA1,CB1?2?5510?4x2?y2?12220.解：（1）联立?得5x?2mx?m?1?0

?y?x?m第3页（共4页）

?直线与椭圆有公共点

???4m2?20(m2?1)?0??55 ?m?22 （2）将椭圆方程化为y?2x214?1,

则a?1,b?2212333,c?,?c?,?F1(0,) 442231313代入方程得A(?,),B(,) 24242?AB?y轴?将y? ?|AB|?1 21144（3）?直线l2斜率为k且过点M(,)

?l2:y?1111?k(x?),则y?k(x?)? 4444设C(x1,y1)D(x2,y2)则x1?x21y1?y21?,? 2424?4x12?y12?12222联立?两式相减4(x1?x2)?(y1?y2)?1 22?4x2?y1?1z P F D E C G y B y?y2x?x2整理得k?1??1??4

x1?x2y1?y211?y??4(x?)?即16x?4y?5?0

4421. 解: 如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC?a． （1）依题意得B(a,a,0)，PB?(a,a,?a)．

A x a2a2aa??0． 又DE?(0,,)，故PB?DE?0?2222∴PB?DE．

由已知EF?PB，且EF?DE?E， 所以PB?平面EFD．

（2）设点F的坐标为(x0,y0,z0)，PF??PB，则(x0,y0,z0?a)??(a,a,?a)， 从而x0??a,y0??a,z0?(1??)a，

aa11?y0,?z0)?(??a,(??)a,(??)a)． 2222112122由EF?PB，FE?PB?0，即??a?(??)a?(??)a?0，解得??，

223

所以FE?(?x0,第4页（共4页）

∴点F的坐标为(,a3a2aaaaaa2a,)，且FE?(?,,?)，FD?(?,?,?)． 33366333a2a22a2???0，即PB?FD， ∴PB?FD??333故?EFD是二面角C—PB—D的平面角．

a2a2a2a2a2a2a26a2a24a26∵FE?FD????，|FE|????a，|FD|????a，

918969363669993FE?FD?|FE||FD|a2666a?a631??，得?EFD?．所以二面角C—PB—D的大小为．

332∴cos?EFD???a?2?cx2y22??1 四．22（1）由题意得?解得b?2，所以椭圆的方程为?42?2a222?a?b?c（2）设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

?y?k(x?1)222?(2k?1)?4kx?2k?4?0 ?22?x?2y?44k22k2?4?x1?x2?2,x1x2? 22k?12k?1S?AMN?11?1?|y1?y2|??|kx1?kx2|22|k||k|4?6k2102?(x1?x2)?4x1x2?? 222k2?13化简得7k4?2k2?5?0，解得k??1

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