数学奥林匹克高中训练题(23)及答案

数学奥林匹克高中训练题（23）

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．(训练题28)对x1?x2?0,1?a?0，记y1?关系为(C)．

(A)x1x2?y1y2 (B)x1x2?y1y2 (C)x1x2?y1y2 (D)不能确定，与a有关 2．(训练题28)已知函数f(x)?x?2ax?2a?4的定义域为R，值域为[1,??)．则a的取值为(D)．

(A)区间[?1,3] (B)区间(1?5,1?5) (C)区间(??,?1)?(3,??) (D)集合{?1,3} 3．(训练题28)如图１，几何体ABC?A1B1C1中，AB?A1B1，则AA1,BB1,CC1三线共点的充要条件是(C)．

(A)BC//B1C1且AC//AC11 (B)BC?B1C1且AC?AC11 (C)AA1?BB1且?BAA1??B1A1A (D)面ABC与面A1B1C1不平行

4．(训练题28){an}是公差为d的等差数列，则数列中任（不同）两项之和仍是这个数列中一项的充分必要条件是(A)．

(A)存在整数m?1，使得a1?md (B)an?0(n?1,2,3,?) (C)a1为整数，d?1 (D)a1?a2?1,an?2?an?1?an

5．(训练题28)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)是抛物线y?ax?bx?c(a?0)上的四点，且满足x1?x4?x2?x3.则有(A)．

(A)AD//BC (B)AD?BC (C)AD与BC相交但不垂直 (D)不能确定，与字母取值有关 6．(训练题28)已知(1?ix)(A)(?1)2n2n?14n?222x1axax1x?2，y2??2．则x1x2与y1y2的1?a1?a1?a1?a(x?R)展开式中的实部是关于x的多项式，则此多项式的和为(B)．

2n?1

(B)0 (C)2 (D)?22n?1

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．(训练题28)已知M?cos5sin15sin25sin35,N?sin5cos15cos25cos35．则

ooooooooM? 1 ． N2．(训练题28)不等式x?4x?4?16?x的解的集合为 {?4,0} ．

C 3．(训练题28)如图2，直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，

A B

C1 A1 B1

22?A1B1C1?90o，A1C1?1，AA1?2，连AB1,AC1，则平面AA1B1与平面

AB1C1所成二角面的平面角为 arctan 2 （用反三角函数表示）．

4．(训练题28)已知a?lga?10,b?10?10，则a?b? 10 ． 5．(训练题28)已知1?b1111n???......??(n,m?N)．则n? 0 (mod1997)． 2341996m6．(训练题28)有五个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用．如果随意在每个匣子内放入一

把钥匙，然后把匣子全部锁上，现允许砸开一个匣子，使得能相继用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有 24 种．

三、(训练题28)(本题满分20分)已知直线l:y?kx?h(k,h?0)与x轴交于A点，与y轴交于B点，

x2y2且与椭圆C:2?2?1没有公共点．求证：AB?a?b．

ab四、(训练题28)(本题满分20分)如图３，在棱长为a的正方体

D A G N C

B F

E

C1

B1

ABCD?1AB中，沿ACB1,A1BD切去它的两角，再沿面BDC1,ACD11C1D1M D1

13切去两角．求所剩下几何体的体积．a

2五、(训练题28)(本题满分20分)已知a0,a1,a2,?,an为等差数列，

A1

nbxkf(x)?x(b?0)，求证：?akCn[f(x)]k[f(1?x)]n?k?a0f(1?x)?anf(x)．

b?bk?0第二试

一、(训练题28)(本题满分50分)梯形ABCD中，连对角线AC,BD，CD//AB,?ABC与?BAD均为锐角，求证：必可把?ABC分成4个互不重叠的三角形X1,X2,X3,X4，把?ABD也分成4个互不重叠的三角形Y1,Y2,Y3,Y4，使得Xi?Yi(i?1,2,3,4)．

1?a?,1??2二、(训练题28)(本题满分50分)已知数列?

?a?1(aa?aa???aa?aa).n1n?12n?2n?22n?11?3n?1?求证：an?1?an．

三、(训练题28)(本题满分50分)凸66边型内角中，必存在两个角?,?，使得cosa?cos??1． 1997