4.1.1圆的标准方程
一、圆的标准方程 1．圆的标准方程
基本 要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是______和______ 标准 方程 圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程是________________ 图示 若点M(x,y)在圆C上，则点M的______适合方程(x?a)?(y?b)?r；反之，若点说明 222M(x,y)的坐标适合方程(x?a)2?(y?b)2?r2，则点M在________上 2．圆的标准方程的推导
如图，设圆的圆心坐标为C(a,b)，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设M(x，y)为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合P?M|MC?r.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标
22222(x,y)满足的关系式为(x?a)?(y?b)?r ①，①式两边平方，得(x?a)?(y?b)=r.
??
二、点与圆的位置关系
圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)，其圆心为C(a,b)，半径为r，点P(x0,y0)，设
d?|PC|?(x0?a)2?(y0?b)2. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d____r (x0?a)2?(y0?b)2?r2 点在圆上 d____r (x0?a)2?(y0?b)2?r2 点在圆内 d____r (x0?a)2?(y0?b)2?r2
K知识参考答案：
一、1．圆心 半径 (x?a)2?(y?b)2=r2 坐标 圆C 二、? ? ?
K—重点 K—难点 K—易错 能根据条件写出圆的标准方程 求圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系 忽视圆标准方程的结构致错 1．求圆的标准方程
求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法.
（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算.对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程.这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件.
【例1】写出下列各圆的标准方程． （1）圆心在原点，半径长为2；
（2）圆心是直线x?y?1?0与2x?y?3?0的交点，半径长为
1. 4【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即a?0,b?0,r?2， ∴圆的标准方程为x?y?4. （2）由题意知圆心是两直线的交点，
222?x??,??x?y?1?0?3由?，得?.
52x?y?3?0??y??3?∴圆心为(?25,)， 33又∵半径长为
122521，∴圆的标准方程为(x?)?(y?)?. 43316【例2】过点A(1,?1),B(?1,1)且圆心在直线x?y?2?0上的圆的方程是 A．(x?3)2?(y?1)2?4 C．(x?1)?(y?1)?4 【答案】C
【解析】解法1：设所求圆的标准方程为(x?a)?(y?b)?r，
22222
B．(x?3)2?(y?1)2?4 D．(x?1)?(y?1)?4
22?(1?a)2?(?1?b)2?r2?a?1??222由已知条件，知?(?1?a)?(1?b)?r，解此方程组，得?b?1，
?r2?4?a?b?2?0??故所求圆的标准方程为(x?1)2?(y?1)2?4. 解法2：设点C为圆心，
因为点C在直线x?y?2?0上，所以可设点C的坐标为(a,2?a)． 又因为该圆经过A,B两点，所以|CA|?|CB|.
22所以(a?1)?(2?a?1)?(a?1)2?(2?a?1)2，
解得a?1.所以2?a?2?1?1.
所以圆心坐标为C(1,1)，半径r?|CA|?2. 故所求圆的标准方程为(x?1)?(y?1)?4.
解法3：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB?221?(?1)??1，所以弦AB的垂直平分线的斜率
?1?1为k?1，所以AB的垂直平分线的方程为y?0?1?(x?0)，即y?x.
则圆心是直线y?x与x?y?2?0的交点，由??y?x,?x?1得?，即圆心C(1,1)，圆的半径
?x?y?2?0?y?1r?|AC|?(1?1)2?[1?(?1)]2?2，
故所求圆的标准方程为(x?1)?(y?1)?4. 2．会判断点与圆的位置关系 点与圆的位置关系的判断方法：
（1）几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较； （2）代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x0?a)2?(y0?b)2?r2，点在圆外； ②(x0?a)2?(y0?b)2?r2，点在圆上； ③(x0?a)2?(y0?b)2?r2，点在圆内．
【例3】 已知点(2，0)和(x-2)2 + (y+1)2 = 3，则点与圆的位置关系是 A．在圆内 C．在圆外 【答案】A
B．在圆上 D．不确定
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