切换系统的稳定性分析

切换系统的稳定性分析

切换系统是混杂动态系统中的其中一种重要的模型，具有特殊性，混杂动态系统包括了两种动态系统，即离散事件动态系统和连续或离散时间变量动态系统。切换系统在混杂动态系统中是非常重要的其中的模型。

1 切换系统的稳定性

切换系统的正常运行，是基于系统的稳定性能的前提下的，所以，稳定性是切换系统的研究的话题。研究为了提高切换系统的稳定性，使切换系统正常运行。由于对于系统内部的复杂的程序与序列进行符号识别与切换，并保证切换得当，方能确保切换系统的稳定操作与运行。对于切换系统内的子系统的稳定性能如何，若切换得当，切换系统都能稳定运行。因此，切换系统中的切换是否得当，关系到切换系统能否稳定运行。以下通过介绍公共Lyapunov函数与多Lyapunov函数是如何控制切换系统的稳定性的。 1.1 公共Lyapunov函数

为了研究切换系统在任意的切换信号下都能保持稳定性，其中达到该目的需要有什么条件，在公共Lyapunov函数的系统中对于任意的切换信号下切换系统保持着相对稳定地状态，因此，公共Lyapunov函数可以解决在任意切换信号下控制切换系统的稳定性的问题。对于公共Lyapunov函数的假设，我们可以认为：切换系统内的所有子系统都存在公共Lyapunov函數，切换系统在任意切换信号下，都能保持切换系统的稳定性。

对于公共Lyapunov函数，如果Lyapunov函数V（x）0，那么有：

上式则是公共Lyapunov函数，由以上的式子可以看出，当V（x）0时，系统能够达到趋于稳定状态，但是，如果V（x）没有这一局限

性，则系统的稳定性是全局性的，不能很好地保证系统的稳定性。 在一组稳定地矩阵Ai（i∈Q），则存在一个正定矩阵P0，有： 该式称为公共二次Lyapunov函数。

对于切换系统中的公共Lyapunov函数若符合以下两个条件：若线性切换系统Lie代数 可解，全部指数稳定，则存在二次型公共Lyapunov函数；若非线性切换系统，当且仅当 ，系统趋向稳定，不分指数稳定，则存在公共Lyapunov函数。 1.2 多Lyapunov函数

由于公共Lyapunov函数需要满足的条件非常多且复杂，具有一定的局限性，且许多的切换系统中并不存在公共Lyapunov函数，因此，也就研制出了多Lyapunov函数，该函数是可以根据需要设置出适当的切换信号，使得切换系统稳定运行，相对于公共Lyapunov函数的局限性较少，具有更广泛地应用。对于多Lyapunov函数，其构思是，先定义一组类Lyapunov函数，然后对切换系统的稳定性进行判定。

1.3 基于逗留时间的稳定性

长逗留时间稳定性，是指切换系统在各个子系统中进行的序列切换时间足够长，足以抵消且超过切换过程导致的系统总能量的增长趋势，这样，就能使得切换系统保持稳定运行的状态。该长逗留时间稳定性的方法，是保证了切换系统在对序列的切换过程中的切换是否得当的过程，与上述的两种公共Lyapunov函数和多Lyapunov函数不同。

最简单的长逗留时间稳定性的方法是，在切换系统的切换过程中，引入一个正常数x0，并且进行相应的假设，相邻的两个切换过程所用的时间差大于等于x的切换信号，也就是切换系统每次在各自的子系统中的切换过程所逗留的时间不小于x。

如果各子系统都趋于稳定，切换系统的切换信号在子系统中的序列切换逗留足够长的时间，x足够大，那么就能够保证切换系统的所有指数稳定。

2 切换系统的稳定性分析

由于时滞效应广泛存在于各种类型的系统中，如网络系统、电子通讯系统、气压系统等都存在着时滞效应，因此切换系统内部同样也存在着时滞效应。时滞效应往往会导致切换系统不能稳定运行、切换系统运行过程中剧烈震荡等不良的情形。以下简要分析时滞切换系统的两种不同形式，即一类状态时滞仿射切换非线性系统的输入-状态稳定性分析和一类多时滞仿射切换非线性系统的输入-状态稳定性分析。

2.1 一类状态时滞仿射切换非线性系统的输入-状态稳定性分析 对于一类时滞切换非线性系统，有如下函数关系式：

以上两个式子中的g、m是关于t的分段连续函数，其中β：[0，∞）→{1，2……，N}为切换信号。为了保证上式满足普遍性，通常是设为右连续。{1，2……，N}表示子系统顺序对应的序号集合，N表示子系统的总数目，以β=i，i∈{1，2，……，N}。

另外，连续函数中的α：[0，a）→[0，∞）需要以递增的形式，并且需要满足α（0）=0，则有α∈K函数。相反，如果a=∞，且r→∞，则α（r）→∞，则α∈k函数。

对于连续函数β：[0，a）×[0，∞）→[0，∞），则有，对于任意一个固定的s，都会有一个相应的β（r，s）是关于r的K函数，且对于每个一定的r，则都会有相应的β（r，s）关于s的递减函数。当s→∞，则有β（r，s）→0，β属于KL函数。

在基于长逗留时间的输入状态-稳定性的分析中，首先需要考虑的是当切换系统中的子系统都是稳定的，则会有gi（t，x）、mi（t，x）关于t的分段连续函数。当αi0、βi0、θi0，则

满足以上条件，则切换非线性系统的输入-状态稳定。以该式子来推算出的最后切换非线性系统稳定的结论，主要是通过限制了自治切换系统内的所有子系统是指数稳定，并且能够使得切换系统内的所有子系统都处于输入-状态的稳定状态。

2.2 一类多时滞仿射切换非线性系统的输入-状态稳定性分析