微专题37 椭圆中与面积有关的取值范围问题
取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.
x2y2
如图37-1所示，已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点
为F(－1,0)，左准线方程为x＝－2.
图37-1
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．
求椭圆中某个三角形的面积的最值或范围问题，一般是从
函数角度出发，本题也是如此，而构建函数是本题的关键，先是选择
变量，条件OA⊥OB启示本题应选直线OA(或OB)的斜率k为变量，根据三角形的几何特征，通过代数计算建立三角形的面积关于k的函数，然后利换元法求出最终结果.
x2
如图37-3所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：2
＋y2＝1，点A是椭圆上异于长轴端点的任一点，F为椭圆的右焦点，直线AF与椭圆交于B点，直线AO与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．
图37-3
x2y2x22
设椭圆E：16＋4＝1，P为椭圆C：4＋y＝1上任意一点，
过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.如图37-4所示．
图37-4
OQ
(1)求OP的值；
(2)求△ABQ面积的最大值．
x22
如图37-5所示，已知椭圆C：2＋y＝1，设A1，A2分别为
椭圆C的左、右顶点，S为直线x＝22上一动点(不在x轴上)，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1，S2分别为△A1SA2，S1
△MSN的面积，求S的最大值．
2
图37-5
x2y2
已知点A(0，－2)，椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为
323F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为3，O为坐标原点．如2，
图37-6所示．
图37-6
(1)求E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，
求l的方程．
x2
(2020·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：a2
y231
＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2，且过点(3，2)，点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.如图37-7所示．
图37-7
(1)求椭圆C的标准方程； (2)求△PCD面积的最大值．
(本小题满分14分)(2019·苏北七市三模)如图37-8所示，在
x2y2
平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的上顶点为
2a
A(0，3)，圆O：x2＋y2＝4经过点M(0,1)．
图37-8
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N. 若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率.
x2y21 (1)4＋3＝1；(2)±2. (1)因为椭圆C的上顶点为A(0 ， 3)，所以b＝3，又圆
1
O : x2＋y2＝4a2经过点M(0 ， 1)，所以a＝
2. …………………………………………………………………………………………2分(求出a)
x2y2
所以椭圆C的方程为4＋3＝1. …………………………………………………4分(求出椭圆方程)
46
(2)若l1的斜率为0，则PQ＝3，MN＝2，
46
所以△PQN的面积为3，不合题意，所以直线l1的斜率不为0.
…………………………………………………………………………………5分(检验l的斜率
1为0是否合理)
?x2y2
设直线l1的方程为y＝kx＋1，由?4＋3＝1，
?
y＝kx＋1)消
y，得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0， 设P(x1 ， y1)，Q(x2 ， y2)，
－4k－26·2k2＋1－4k＋26·2k2＋1
则x1＝，x2＝，
3＋4k23＋4k2所以|PQ|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
22
461＋k·2k＋1…………………
＝1＋k2|x1－x2|＝.8分(利用弦
3＋4k2
长公式求出PQ)
1
直线l2的方程为y＝－kx＋1，即x＋ky－k＝0， |k|
圆心到直线的距离d＝ ，所以|MN|＝22
1＋k
k2
1－＝1＋k2
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