mv
解析 此题考查的是“定心判径画轨迹”，a、b粒子做圆周运动的半径都为R＝，画出轨
qBθθm
迹如图所示，圆O1、O2分别为b、a的轨迹，a在磁场中转过的圆心角大，由t＝T＝和
2πqB轨迹图可知A、D选项正确．
4．[带电粒子在交变磁场中的运动](2012·海南单科·16)图6(a)所示的xOy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy平面(纸面)垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T，变化图线如图(b)所示．当B为＋B0时，磁感应强度方向指向纸外．在坐标原点O有一带正电的粒子P，其
2π
电荷量与质量之比恰好等于.不计重力．设P在某时刻t0以某一初速度沿y轴正方向自O
TB0点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A.
(a) (b)
图6
(1)若t0＝0，则直线OA与x轴的夹角是多少？
T
(2)若t0＝，则直线OA与x轴的夹角是多少？
4
π
答案 (1)0 (2) 2
解析 (1)设粒子P的质量、电荷量与初速度分别为m、q与v，粒子P在洛伦兹力作用下，在xOy平面内做圆周运动，分别用R与T′表示圆周的半径和运动周期，则有
2π2
qvB0＝m()R①
T′2πRv＝②
T′由①②式与已知条件得T′＝T
T
粒子P在t＝0到t＝时间内，沿顺时针方向运动半个圆周，到达x
2
T
轴上B点，此时磁场方向反转；继而，在t＝到t＝T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，
2到达x轴上A点，如图所示．OA与x轴的夹角θ＝0.
TTT1
(2)粒子P在t0＝时刻开始运动，在t＝到t＝时间内，沿顺时针方向运动个圆周，到达C
4424点，此时磁场方向反转；继而，在
T
t＝到t＝T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t2
5T1
＝T到t＝时间内，沿顺时针方向运动个圆周，到达A点，如图所示．由几何关系可知，
44
π
A点在y轴上，即OA与x轴的夹角θ＝.
2
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动解题“三步法” (1)画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹．
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系．
(3)用规律：即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．
考点三 带电粒子在有界磁场中的运动
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图7所示)
图7
2．平行边界(存在临界条件，如图8所示)
图8
3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图9所示)
图9
4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是： (1)画出运动轨迹； (2)确定圆心和半径；
(3)利用洛伦兹力提供向心力列式．
例3 (2014·江苏·14)某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图10所示．装置的长为L，上、下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板的位置．不计粒子的重力．
图10
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv； (3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值．
解析 (1)设粒子在磁场中的轨迹半径为r，粒子的运动轨迹如图所示．
3根据题意知L＝3rsin 30°＋dcot 30°，且磁场区域的宽度h＝r(1－cos 30°)
2
23
解得：h＝(L－3d)(1－)．
32
v2
(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨迹半径为r′，洛伦兹力提供向心力，则有m＝qvB，
r
v′2m＝qv′B， r′
由题意知3rsin 30°＝4r′sin 30°，
qBL3
解得粒子速度的最小变化量Δv＝v－v′＝(－d)．
m64
(3)设粒子经过上方磁场n次
d
由题意知L＝(2n＋2)cot 30°＋(2n＋2)rnsin 30°
2
v2qBL3Ln
且m＝qvnB，解得vn＝(－3d)(1≤n<－1，n取整数)．
rnmn＋13d
23qBL3
答案 (1)(L－3d)(1－) (2)(－d)
32m64
qBL3L(3)(－3d)(1≤n<－1，n取整数) mn＋13d变式题组
5．[带电粒子在直线边界磁场中运动]如图11所示，质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，以不同的初速度两次从O点垂直于磁感线和磁场边界向上射入匀强磁场，在洛伦兹力作用下分别从M、N两点射出磁场，测得OM∶ON＝3∶4，则下列说法中错误的是( )
图11
A．两次带电粒子在磁场中经历的时间之比为3∶4 B．两次带电粒子在磁场中运动的路程长度之比为3∶4 C．两次带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力大小之比为3∶4 D．两次带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力大小之比为4∶3 答案 AD
mvr1OM3sMπr13解析 设OM＝2r1，ON＝2r2，故＝＝，路程长度之比＝＝，B正确；由r＝知r2ON4sNπr24qB
1T
v1r13FMqv1B32πmtM2M＝＝，故＝＝，C正确，D错误；由于T＝，则＝＝1，A错误． v2r24FNqv2B4BqtN1
T2N6．[带电粒子在圆形有界磁场中的运动]如图12所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的负电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角．磁场的磁感应强度大小为( )
图12
mvmvA. B.
θθqRtan qRcot
22
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