考研辅导-极限与连续

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数学分析补充

第一部分：极限与连续

§1 数列极限的证明与计算 知识点回顾：

极限定义与性质的应用。 单调有界原理的应用。 Cauchy收敛准则的应用。 Stols公式,Taylor公式的应用。 范例： 1、

sinn 不存在。 证明：limn??证法（1）：利用Cauchy准则。?N,取n?[2N??则 2N??3?],m?[2N??2?]，4?4?n?2N??3??2N????m?2N??2?，从而 4sinn?sinm?2。 2n(?2)?sinn?2sin1cosn(?1) ，证法（2）：设limsinn＝A 。因为sinn??cons?0。又由sin2n?cos2n?1可知令n??即得limn??A=1。又因为

sin2n?2sinncosn以及limcosn?0得到A=0。得出矛盾。

n??xxx351722n?1?2n 。2、设（1）xn?coscos2?cosn ；（2）xn?22224162xn 。 试求：limn??2nsin解：（1）.以

x2n2nsinx2n 乘xn，注意sintcost?1sin2t 。 2 2

（2）.以

1?12 乘x，注意(1?a)(1?a)?1?a2 。

n11?23、求极限：

limx?0?a?a???a???。

n??1xa1x???an?1nxx1x2xn1xx??a1x???an????1?解：原式=?1????n??????xa1x???ann?1akx?1,?lnak,(x?0)。

x11??nnpp????p?p4、已知ai?0,(i?1,?n)，计算lim???ai????ai??。

p?????i?1??i?1????解：令a?mi?nai?,(n?1)2A?ma?xai?. 由迫敛性得极限为A?1。 a5、设：xn?k?n2?1k,求:limxn 。

n??解法（1）：2(k?1?k)?1k?2(k?k?1) 。

11，最小项为，因此nn?1解法（2）：xn中共有2n+2项，最大项为

2n?22n?2?xn? 。 n?1n6、求极限：

limn??1p?2p???np,(p为自然数）。 p?1n111解：利用Stolz公式、二项式定理。

7、求极限：

limn???1??2??2?1?2n?1?22???23?1????2n?2?2n?1?2???2n?1?? 。 ??解：对于连乘积形式，可以先取对数。

1?122n?1?n?2? ，由lnxn?n?1?ln2?2ln3???2lnn??2?2?12?12?1?Stolz公式

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limlnxn?limn??n??2n?12lnn2?1?ln1,所以limx?1 。

nn??222n?1?2n?2n?28、设：An??ak收敛，?pn????。求证：

k?1nlimn??p1a1???pnan ?0。

pn证：ak?Ak?Ak?1，则：原式=Stolz公式。

9、设x1?0,xn?1??(pk?1n?1k?pk?1)Akpn?An ，对第一项应用

c(1?xn)c?xn(c?1),求：limxn 。

n??解：注意到xn?xn?1于是否有：xn都大于常与递推关系式f(x)?设：f(x)?①x1?②x1?③x1?2xn?c故应比较xn与?，c?xnc的大小关系。问题在

c？这问题通

c？或xn都小于c？或xn都等于

c(1?x)的单调性及首项x1的大小有关。

c?xc(1?x)c(c?1) ,则f?(x)??0,且f(c)?c，所以f(x)单调增加。2c?x(c?x)c时，对任意n都有xn?c，所以?xn?收敛于

c 。

c。由xn?1?f(xn)及归纳法可证xn?c，因此又有?xn??。 c。同理可证xn?c,且{xn}?。

c(c?1)c(c?1)1??1??1,即f(x)为压缩映射，22c(c?x)c另解：因为0?f?(x)?从而?xn?收敛。

10、若f(x)在I=[a-r,a+r]上可微，f?(x)???1,f(a)?a?(1??)r，

任取x0?I,令x1?f(x0),x2?f(x1),?,xn?f(xn?1),?。则：存在唯一的x*?I使limxn?x*,x*为f(x)的不动点。

n?? 4

证：先证f(x)是I到I的映射，即当x?a?r时f(x)?a?r。再证f(x)是压缩映射。

11、设f?(x)?M,0???1M，x0?R,令x1??f(x0),?,xn??f(xn?1)。

xn 存在,且为方程x??f(x)的根。 试证limn??证：0

2xxyn12、设0?x?1,y1?,yn???1,(n?1,2,?)。求极限limyn 。

n??222证：用归纳法可证?yn??,0?yn?1 。 13、设

??1,x1??,xn?1???xn1?xn,(n?1,2,?).求极限：limxn 。

n??解：xn?1?1?(??1)(??1)及x1??可知x2k??,x2k?1?? 。

1?xn???0????0xn??xn?? ，可知?x2k??,?x2k?1?? 。

又由xn?222(??xn)?xn?1???2xn令a?limx2k,k??b?limx2k?1,分别在x2k?k????x2k?11?x2k?1,x2k?1???x2k1?x2k两边

取极限，得到a?b??,因此limxn?? 。

n??14、设x1＞0，a?0,xn?12xn(xn?3a)?,求：limxn 。 2n??3xn?axn?11?8a?????1?2证：

xn3?3xn?a??否：xn都大于

???1????1xn?axn?a 。?xn?的单调性归结为是

a？或xn都小于a？xn都等于

x(x2?3a)a？设f(x)? 23x?a3(x2?a)2则f?(x)??0,f(a)?a 。于是： 22(3x?a)