第2讲 三角变换与解三角形
1．(2015·课标全国Ⅰ改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝________.
2．(2014·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________． 3．(2015·重庆)在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________. 4．(2014·江苏)若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．
正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．
热点一 三角恒等变换
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
π43π2π例1 (1)已知sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，则cos(α＋)＝________.
3523
1＋sinβππ
(2)(2014·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则2α－β＝________.
22cosβ思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范
围尽量缩小，避免产生增解．
3πα－?cos??10?π
跟踪演练1 (1)(2015·重庆改编)若tanα＝2tan，则＝________.
5π??sin?α－5?31
(2)－＝________. cos10°sin170°
热点二 正弦定理、余弦定理
abc
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，
sinAsinBsinCa
sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．
2R2．余弦定理：在△ABC中， a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＋c2－a2
变形：b＋c－a＝2bccosA，cosA＝.
2bc
2
2
2
例2 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求
sinB
； sinC
2
，求BD和AC的长． 2
(2)若AD＝1，DC＝
思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
(2)(2014·江西改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，π
C＝，则△ABC的面积是________．
3
热点三 解三角形与三角函数的综合问题
解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．
πx＋?. 例3 (2015·山东)设f(x)＝sinxcosx－cos2??4?(1)求f(x)的单调区间；
A?(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f??2?＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．
xxx
跟踪演练3 已知函数f(x)＝2cos(3cos－sin)，在△ABC中，有f(A)＝3＋1.
222(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值； (2)若a＝1，求△ABC面积的最大值．
π
1．在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝3，则sinC＝________.
32π
2．已知函数f(x)＝3sinωx·cosωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为. 3(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域．
提醒：完成作业 专题三 第2讲
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