2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 06029018
所属学校（请填写完整的全名）： 沈阳工程学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘宏宇 2. 蔡森林 3. 宋晋杰 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 耿爱成 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期： 2014 年 9 月 15 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
本文主要研究的是嫦娥三号探测器从远月点到软着陆完成的完整过程，进行多元统计分析。首先通过对数据的分析得到已知经验，然后再把这些经验再代入数据中进行模型的验证，接着再重新确立主要影响因素，并建立新的合理模型，最终得到了令人满意的结果。
针对问题1，我们建立了动力学模型，明确天体运动的基础上进行空间建立三维坐标系；采用参数化控制方法，运用矩阵的转换和科氏定律求得问题一初始点的速度和坐标，得初始速度vxL0=1115m/s，vyL0=?981.8m/s，vzL0=816m/s，故近月点速度大小为
v近=1695.0m/s，?0=34.986 ，?0=35.681。从而有最优初始点即（近月点）坐标xL0?837.71km，yL0?1423.9km，zL0?586.26km，近月点月理经度19.05W，月理纬度
29.00N。
针对问题2，我们在问题1的基础上建立了动力学模型与控制律设计，在问题2中我们分别探讨了近抛物阶段和垂直下降阶段的最优控制策略，建立着陆段垂直动力学模型进行程序制导律设计解出最优开关切换高度，在问题1之上研究了一种利用参数化控制求解了抛物段的最优控制问题的方法，最后通过经典的参数优化方法和仿真运算得出结果软着陆末时刻tf?672.8s，末时刻探测器质量m末，燃料消耗为?m?m0?m末，最后探测器以3.9811m/s的速度对月速度精确降落到指定登月点。
针对问题3，通过简化的软着陆力学模型求解特殊两边值问题，建立了月球软着陆主制动段的误差模型，并运用误差敏感系数对提出的制导律的制导误差进行分析结果可以看出敏感系数为10-4数量级，初始速度误差的为10?2数量级 。
关键词：动力学模型 控制率设计 最优控制 参数化控制 误差敏感系数
1
一、问题重述
嫦娥三号是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器，包括着陆器和月球车。它携带中国的第一艘月球车，并实现中国首次月面软着陆。它于2013年末成功发射，4日后抵达月球轨道。质量为2.4t的嫦娥三号，其下部安装的主减速发动机可产生1500N到7500N的可调节推力，用来调整速度。四周还安装有姿态调整发动机，可自动通过多个发动机的脉冲组合实现各姿态的调整控制。
嫦娥三号在高速飞行的同时，要保证准确的在预定的着陆点区域内实现软着陆，需要着陆轨道和控制策略的设计。着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，需要满足每个阶段在关键点所处的状态，并且尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据以上的基本要求，可通过建立数学模型解决一下问题：
1.确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
2.确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
3.根据设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二、问题分析
探测器经过环月轨道的着陆方式因其具有较长的软着陆准备时间、对着陆位置的限制比较小以及减少着陆舱部分的燃料消耗等优点故而被广泛采用。该方式的关键环节就是从距离月面15 km的近月点至月面的动力下降过程。 问题一的分析：
目前诸多学者已经对该方式软着陆问题做出了较多研究工作，并且取得了较好的成果，不过上述文献都是忽略月球自转，没有考虑侧向运动，假设登月器在一个固定的铅垂面内运动来进行研究，而事实上由于月球自传等因素的存在，登月器难以保持在一个固定的铅垂面内运动，因此研究三维空间的精确定点软着陆则更据有工程意义。本文同样考虑了月球自转，针对三维空间内精确定点软着陆问题利用参数化控制解决了变推力软着陆最优控制问题，此外还针对仅知制动近月点到月心距离而具体位置未知的情况，对近月点的选取进行了研究。该方法无需估计不具备物理意义的变量初值，并且收敛速度快。
问题二的分析：
问题二是建立在问题一的基础上，通过对问题一的研究引入强化技术来求解优化这一问题；问题二实际上是问题一的一种特殊情形，需要对问题二中建立的模型细化，确定对应的参数。 问题三的分析：
问题三在月球软着陆地点的东面，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。初始条件误差由主制动段以前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定。此外，影响制导精度的因素还包括月球不规则摄动等误差。
三、模型假设
1.假设只考虑月球引力及月球自转对软着陆轨道设计与控制的影响。 2.进入环月轨道可忽略地球及其他行星的影响因数。 3.把嫦娥三号当做一个质点。
2
四、符号说明
F：发动机的推力。 ?m：月心 ?e：地心
?s：日心引力常数
VxL，VxL和VzL：探测器速度矢量在月固坐标系各轴上的投影
m：探测器质量
?L：月球自转角速度
ve：制动火箭的比冲，是一个常值。 GM：月球引力常数。
五、模型建立
针对问题一
嫦娥三号首先进行霍曼变轨，从圆形环月轨道进入一条近月点高度为15 km的椭圆轨道；当到达近月点时，制动发动机点火，探测器进入动力下降段，最终以很小的相对速度降落到月面指定位置。
（1）动力学模型建立与控制律设计
一般情况下，软着陆飞行动力学建模，低轨月球探测器可产生10 种摄动源的摄动量级和不同需求下的摄动模型选择, 其中对于一般的轨道分析, 只需考虑月球的非球形引力摄动以及地球和太阳的引力摄动即可[1]。于是, 一般情况下月球软着陆动力学模型的矢量式可写为
?1??1??11&r?F?mgr?F??ggr?g???ggr?g??e?3ee?s?3ss? 333r?e?s?re??rs?式中，
?mr3gr：月球的中心引力。
?eg??sg??1?1gr?g?e?：地球引力摄动。 3e3r?e?e??1?1gr?g?s?：太阳引力摄动。 3s3r?s?s??e?r?re，?s?r?rs。re和rs是月心到地心和月心到日心的矢径。对于环月低轨探
测器，可利用目前最为精确的 LP165 引力模型来分析月球的非球形引力摄动对环月轨
道的影响。但是对于月球软着陆，由于其距离月面很近且着陆区域范围较小。因此，月球表面的质量集中问题就显得更为突出，考察摄动影响时应重点考虑着陆区域附近的质量集中问题。为方便软着陆过程各阶段的制导律设计以及下降轨迹各参数的分析，需要根据每个阶段的不同情况将模型建立在合适的参考坐标系下。
（2）软着陆飞行动力学建模
简化条件下，在只考虑月球重力及其自转条件下，定义惯性坐标系Oxyz ，原点在
3
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