傅里叶变换和拉普拉斯变换

一傅里叶变换在应用上的局限性

在第三章中，已经介绍了一个时间函数f?t?满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即

F?j?????f?t?e?j?tdt??? (正变换) (5.1)

f?t??

12?????F?j??ej?td? (反变换) (5.2)

但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号U?t?，斜变信号

tU?t?，单边正弦信号sin?tU?t?等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅

里叶变换。

at还有一些信号，例如单边增长的指数信号eU?t??a?0?等，则根本就不存在傅里叶变

换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求?从??到?区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。

利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。

由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。

实际上，信号f?t?总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号f?t?接入系统的时刻作为t?0的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即有f?t?=0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为

F?j?????f?t?e?j?tdt0? (5-3)

?式(5-3)中的积分下限取为0，是考虑到在t?0的时刻f?t?中有可能包含有冲激函数

??t?。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是?)，不过此时要在公式后

面标以t＞0，意即只有在t＞0时f?t?才有定义，即

1f?t??2?

????F?j??ej?td? t＞0 (5-4a)

或用单位阶跃函数U?t?加以限制而写成下式，即

?1f?t????2? ?j?t??Fj?ed?U?t?????? (5-4b)

?二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

??t当函数f?t?不满足绝对可积条件时，可采取给f?t?乘以因子e（?为任意实常数)

的办法，这样即得到一个新的时间函数f?t?e??t。今若能根据函数f?t?的具体性质，恰当地

选取?的值，从而使当t??时，函数f?t?e??t?0，即满足条件

t??limf?t?e??t?0

??t??t??fte则函数即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子e??t起着使函数f?t?收敛的作用，故称e为收敛因子。

设函数f?t?e式(5-3)有

??t满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据

F?j?????f?t?ee??t0??j?tdt???f?t?e????j??tdt0?

在上式中，j?是以???j??的形式出现的。令s???j?，s为一复数变量，称为复频

1率。?的单位为s，?的单位为rad/s。这样，上式即变为

F?j?????f?t?e?stdt0?

由于上式中的积分变量为t，故积分结果必为复变量s的函数，故应将F?j??改写为F?s?，

即

F?s????f?t?e?stdt0? (5-5)

F?s?称为f?t?的像函数，f?t?称复变量函数F?s?称为时间函数f?t?的单边拉普拉斯变换。

为F?s?的原函数。一般记为

F?s??L?f?t??

?1???为一算子，表示对括号内的时间函数f?t?进行拉普拉斯变换。 L符号

利用式(5-4)可推导出求F?s?反变换的公式，即

f?t?e??t?12?????F?s?ej?td?

对上式等号两边同乘以e，并考虑到e不是?的函数而可置于积分号内。于是得

?t?t

f?t??12?????F?s?e?tej?td??12?????F?s?e???j??td??12?????F?s?estd? (5-6)

由于式(5-6)中被积函数是F?s?，而积分变量却是实变量?。所以欲进行积分，必须进行变量代换。因

s???j?

故ds?d??????jd?(因?为任意实常数)故

d??

1dsj

且当????时，s???j?；当???时，s???j?。将以上这些关系代入式(5-6)即得

1??ft?2?j????j??j?F?s?estds t?0 (5-7a)

写成

?1??j??st??f?t???FsedsU?t?????j??2?j? (5-7b)

式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数F?s?求与之对应的原函数f?t?。一般记为f?t??L换。

式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为

f?t??F?s?或F?s??f?t? 若f?t?不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为(??)，即

?1?F?s??符号L?1???也为一算子，表示对括号内的像函数F?s?进行拉普拉斯反变

F?s???f?t?estdt??? (5-8)

式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单边拉普拉斯变换。以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。 由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即f?t??F?j??而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，即f?t??F?s?.

三、复频率平面

以复频率s???j?的实部?和虚部j?为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s平面，如图5-1所示。复频率平面(即s平面)上有三个区域：j?轴以左的区域为左半开平面；j?轴以右的区域为右半开平面；j?轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。将s平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。

四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域

??t??t上面已经指出，当函数f?t?乘以收敛因子e后，所得新的时间函数f?t?e便有可能

满足绝对可积条件。但是否一定满足，则还要视f?t?的性质与?值的相对关系而定。下面就来说明这个问题。因