西罗定理

西罗定理

西罗生平：

西罗，挪威数学家。1832年出生于挪威克里斯蒂安尼亚。1855年。他成为一名中学教师。尽管教书的职业花费了他大量的事件，但他还是挤出事件来研究阿贝尔的论文。从1873到1881年，西罗同李合作，编辑出版了阿贝尔著作的新版本。西罗最重要的成就——西罗定理是他在1872年获得的。在得知西罗的结果后。若尔当称它是“置换群中最基本的结论之一”。这些定理以后成为研究群论，特别是有限群论的重要工具。西罗对于椭圆函数论也有贡献。他于1918年去世。

西罗定理阐述： 首先给出有关定义

定义1 设G为有限群，如果G的阶为某个素数p的方幂pk?k?1?,则称G是一个p群. 定义2 设G为有限群，P是G的一个pn阶子群?p为素数，n?1?.如果pn+1G，则称P是G的一个Sylow p 子群.先给出两个定理

引理1 设p群G作用在有限集合X上.如果X= m，?m，p?= 1，则X中必有不动元素. 引理2 设p群G作用在有限集合X上.如果t为X中不动元素的个数，则 t?m ?modp?.

定理1?西罗第一定理? 设0

在此定理中，如果取k = n，可知G有pn阶子群.于是得到下述结论. 推论1 对有限群G的任一素因子p，G有Sylow p子群.

定理2?西罗第二定理? 设H为群G的p子群,P为群G的任一Sylow p子群，则存在a?G，使H?aPa.-1

特别当H是G的一个Sylow p子群，P为群G的任一Sylow p子群时，存在x?G，使H?xPx-1.由于H=xPx-1=pn，所以H=xPx-1.这就证明了下述推论. 推论2 有限群G的任意两个Sylow p子群互相共轭.

定理3?西罗第三定理? 有限群G的Sylow p子群的个数np是G的因子且满足同余式 np?1 ?modp?. 推论3 设有限群G的阶G=pnm?n?1?，其中p为素数，且?p，m?= 1，则G的Sylow p子群个数npm.西罗定理的应用：

例1 设有限群G的阶为35.证明：G是循环群.

证明 由于35 = 5*7，由西罗第一定理，G有Sylow 5 子群和Sylow 7 子群.设H,K分别为G的Sylow 5 子群和Sylow 7 子群，则H= 5，K= 7，从而H与K都是循环群.设H = ，K = ,则ord a = 5，ord b = 7.另一方面，由于推论3，n57且n5?1?mod5?，得n5?1，所以H为G的唯一Sylow 5 子群.同理可得，K也是G的唯一Sylow 7 子群.

kkh?从而它们都是G的正规子群.易知H?K??e?，所以对任意的h?H,k?K，有h.

特别ab?ba.由此得ord ab = 5*7 = 35.从而G = 为循环群.

由例题可知，应用西罗定理讨论有限群的步骤： 一 将群的阶因子分解；

二 根据群的阶因子分解式，应用西罗定理，得到群的Sylow子群的信息，如Sylow子群的种类、个数和共轭情况等；

三 综合分析所获得的信息，以得到所要的结论.

例2 证明阶数为72的群G一定不是单群.

证明 72?23，G的Sylow 3 子群的个数n3?1?3t，由1?3t8，可知t = 0或1. （1） 如果t = 0，则G有唯一的Sylow 3 子群，因此是G的正规子群. （2） 如果t = 1，G有4个Sylow 3 子群P1,P2,P3,P4.考虑G在集合

32X??P1,P2,P3,P4?

上的共轭作用.G的每个元素在X上引起一个4阶置换，这给出了G到S4的一个同态映射

?:G?S4

??G.又因为由推论2，P1,P2,P3,P4互相共轭，所以??G???1?,从而Ker72?24?S4，所以Ker???e?.从而Ker?为G的非平凡正规子群.

故G不是单群.

??