2020年高考数学文科考点解读和命题热点突破08

2020年高考数学文科考点解读和命题热点突破

专题08 三角函数的图象与性质

【考向解读】

1.三角函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是2020年高考热点． 并熟练掌握函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，2.备考时应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象与性质，ω>0)的值域、单调性、周期性等．

3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.

4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.

【命题热点突破一】 三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式 例1、若cos(?3??)?，则sin2??（ ） 45A.

7117 B. C.? D.? 255525【答案】D

π?3π?

【变式探究】 当x＝4时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f?4－x?是( )

?π?

A．奇函数且图象关于点?2，0?对称

B．偶函数且图象关于点(π，0)对称 π

C．奇函数且图象关于直线x＝2对称

?π?

D．偶函数且图象关于点?2，0?对称

【答案】C

πππ

【解析】当x＝4时，函数f（x）＝Asin（x＋φ）（A>0）取得最小值，即4＋φ＝－2＋2kπ，k∈3π3π3π3π

（A>0），所以y＝f（4－x）＝Asin（4－xZ，即φ＝－4＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝Asin（x－4）3π3π

－4）＝－Asin x，所以函数y＝f（4π－x）为奇函数，且其图象关于直线x＝2对称.

【命题热点突破二】 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与解析式

例2、为了得到函数y?sin(2x?)的图象，只需把函数y?sin2x的图象上所有的点( )

π3ππ个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 33ππC.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度

66A.向左平行移动【答案】D

【解析】由题意，为了得到函数y?sin(2x??)?sin[2(x?)]，只需把函数y?sin2x的图

36?象上所有点向右移

?个单位，故选D. 6【命题热点突破三】三角函数的性质

π??

，例3、某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?ω>0|φ|<2?在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ x Asin(ωx＋φ)

请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式； π

【解析】根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－6.数据补全如下表：

ωx＋φ x Asin（ωx＋φ） 0 π12 0 π2 π3 5 π 7π12 0 －5 3π2 5π6 2π 1312π 0 0 0 π2 π3 5 π 3π2 5π6 －5 2π 0 π?π?【变式探究】函数f(x)＝sin(2x＋φ)?|φ|<2?的图象向左平移6个单位长度后所得图象关于原点对

?π?

称，则函数f(x)在?0，2?上的最小值为( )

31

A．－2 B．－2 13C.2 D.2 【答案】A

【命题热点突破四】 三角函数图象与性质的综合应用 例4、函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )

π?π???

A．y＝2sin?2x－6? B．y＝2sin?2x－3?

?π??π?＋C．y＝2sin?x6? D．y＝2sin?x＋3?

【答案】：A

【解析】：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．

Tπ?π?π2π?π?

由图象知2＝3－?－6?＝2，故T＝π，因此ω＝π＝2.又图象的一个最高点坐标为?3，2?，所以Aπ?πππ?

＝2，且2×3＋φ＝2kπ＋2(k∈Z)，故φ＝2kπ－6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin?2x－6?.

【命题热点突破五】三角函数图象、性质、正余弦定理、不等式等的综合 例5、 已知向量a＝(sin x，2cos x)，b＝(2 3cos x，－cos x)，函数f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

π??

(2)在△ABC中，若角A满足f?A－6?＝1，且△ABC的面积为8，求△ABC周长的最小值． π??

【解析】（1）∵f（x）＝2 3sin xcos x－2cosx＝3sin 2x－cos 2x－1＝2sin?2x－6?－1，

2

∴函数f（x）的最小正周期为π. πππ

由－2＋2kπ≤2x－6≤2＋2kπ，k∈Z，得 ππ

－6＋kπ≤x≤3＋kπ，k∈Z，

π?π?

∴函数f（x）的单调递增区间为?－6＋kπ，3＋kπ?，k∈Z. （2）设a，b，c分别是内角A， B，C对的边， π?ππ???

由f?A－6?＝1，得2sin?2A－3－6?－1＝1，

π?π?

即sin?2A－2?＝1，又∵A为三角形的内角，∴A＝2， 1

∴2bc＝8，∴bc＝16，

∴b＋c≥2 bc＝8，a＝b2＋c2≥2bc＝4 2，当且仅当b＝c＝4时等号成立. 故△ABC周长的最小值为8＋4 2.

【高考题型解读】 1.在△ABC中，B=A.π1，BC边上的高等于BC,则cosA=（ ） 433101010310 B. C.- D.-

10101010【答案】C

【解析】设BC边上的高为AD，则BC?3AD，所以AC?AD2?DC2?5AD，

AB2?AC2?BC22AD2?5AD2?9AD210，???AB?2AD．由余弦定理，知cosA?2AB?AC102?2AD?5AD故选C．

2.若cos(?3??)?，则sin2??（ ） 45A.

7117 B. C.? D.? 255525【答案】D

3.若tan??A.

3 ，则cos2??2sin2??（ ） 4644816 B. C. 1 D. 252525【答案】A 【解析】

33434，得sin??,cos??或sin???,cos???，所以45555161264，故选A． cos2??2sin2???4??252525由tan??4.cos2ππ?sin2= . 882 2【答案】

【解析】由二倍角公式得cos2?8?sin2?8?cos?4?2. 25.为了得到函数y?sin(2x?)的图象，只需把函数y?sin2x的图象上所有的点( )

π3ππ个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 33ππC.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度

66A.向左平行移动【答案】D

【解析】由题意，为了得到函数y?sin(2x??)?sin[2(x?)]，只需把函数y?sin2x的图

36?象上所有点向右移

?个单位，故选D. 66.若将函数y?2sin2x的图象向左平移

?个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） 12A.x?k??k???(k?Z) B.x??(k?Z) 2626k??k???(k?Z) D.x??(k?Z) 212212C.x?【答案】B

7.将函数y?sin(2x??)图象上的点P(,t)向左平移s（s?0） 个单位长度得到点P'，若

34?P'位于函数y?sin2x的图象上，则（ ）

A.t?1?3，s的最小值为?，s的最小值为B.t?

26621?3，s的最小值为?，s的最小值为D.t? 2332C.t?【答案】A

【解析】由题意得，t?sin(2?ππ1π1?)?，当s最小时，P'所对应的点为(,)，此时432122smin?πππ-?，故选A. 41268.函数y?sinx?3cosx的图象可由函数y?sinx?3cosx的图象至少向右平移