二次函数与圆综合问题(函数)-全国各地2019中考数学压轴题函数大题题型分类汇编(解析版)

2019全国各地中考数学压轴大题函数综合

十、二次函数与圆综合问题

1.（2019?潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点． （1）求圆心M的坐标；

（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；

（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4

时，求点P的坐标．

解：（1）点B（0，4），则点C（0，2）， ∵点A（4，0），则点M（2，1）； （2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°， 设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α， tan∠CAO＝AC＝

＝＝tanα，则sinα＝

，cosα＝＝10，

，

，则CD＝

则点D（0，﹣8），

将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：

直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；

（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1， 将点B坐标代入上式并解得：a＝， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4， 过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2

，

cos∠PEH＝解得：PE＝5，

设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8）， 则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5， 解得x＝则点P（

或2， ，

）或（2，1）．

，

2.（2019?长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C． （1）求点A的坐标；

（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E． ①如图1，求证：CE＝DE；

②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．

解：（1）令ax2+6ax＝0， ax（x+6）＝0， ∴A（﹣6，0）；

（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，

∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点， ∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°， 又∵PC＝PB， ∴∠PCB＝∠PBC， ∵CE为切线，

∴∠PCB+∠ECD＝90°， 又∵∠BDP＝∠CDE， ∴∠ECD＝∠COE， ∴CE＝DE．

②解：设OE＝m，即E（m，0）， 由切割线定理得：CE2＝OE?AE， ∴（m﹣t）2＝m?（m+6），

∴①，

∵∠CAE＝∠CBD，

∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO， 由角平分线定理：

，

即：，

∴由①②得

②，

，

整理得：t2+18t+36＝0， ∴t2＝﹣18t﹣36， ∴

．

3.（2019?鄂尔多斯）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点． （1）求抛物线的解析式．

（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．

（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点， ∴

，