量子力学复习题-1

例题1在一维无限深势阱中一个粒子的初始波函数由前两个定态迭加而成：

?(x,0)?A??1(x)??2(x)?.

（a） 归一化?(x,0)

（b） 求?(x,t)和?(x,t)。

（c） 计算?x?的值。注意它是随时间的震荡。角频率是多少？振幅是多少？

（d） 计算?p?的值。

（e） 如果你测量粒子的能量，可能得到什么值？得到各个值的几率是多少？求出H的期

望值。并与E1和E2比较。

解：

?22?2（a） 1?????(x,0)A?dx?A?????21??2???2???1dx?2A

2*1*2?212

?iE1t/?

?(x,t)?（b）

12?1(x)e?12?2(x)e?iEt/?

211122?(x,t)??1(x)??2(x)??1(x)?2(x)ei(E2?E1)t/??e?i(E2?E1)t/?222 1 122??1(x)??2(x)??1(x)?2(x)cos??E2?E1?t/??222??（c）设

?n(x)?

a2?n?x?sin?? 0?x?a a?a?aaa1122?x???x?(x,t)dx??x?1(x)dx??x?2(x)dx?cos?(E2?E1)t/???x?1(x)?2(x)dx2020002

利用公式

1???)?cos(???)? sin?sin???cos(2111116a?a??a?2cos?(E2?E1)t/?? 22229??x?以势阱中心a/2为中心振荡， 振荡幅度16a/9?2?a/2

E2?E13?2??振荡频率为 ?? ?2ma2

?x??

（d）

??p????(x,t)(?i?)?(x,t)dx?x0*a12???x??2?x?iE2t/??????x??iE1t/?2??2?x??iE2t/????i????sin??eiE1t/??sin?ecose?cosdx?????e???2a0??a?a?a??a??a???a?1????x???x?2??2?x??2?x??

??i???sin??cos???sin??cos???dxa0?a?a??a?a?a??a??1???2?x???x?i(E2?E1)t/?2???x??2?x??i(E2?E1)t/???i???sin?cose?sindx?????cos??e?a0?aa?a??a??a??a??

利用公式

aaa

1 sin?cos???sin(???)?sin(???)?

2积分得出

4i?t8??i?te?e?sin?t ?p???i?3a3a??验证

d?x?16a8??m?2sin?t?sin?t ?p??mdt3a9?（e）

?(x,t)?12?1(x)e?iE1t/??12?2(x)e?iE2t/?

测量得到E1的几率是1/2, 测量得到E2的几率是1/2 哈密顿的期待值

1*?H????(x,t)H?(x,t)dx???1eiE1t/???2eiE2t/?E1?1e?iE1t/??E2?2e?iE2t/?dx200?aa????

115?2?2/2?E1?E2?222ma2

E1?H?E2

d21????r?r?p?p?r dtmp22?V(r)， 试证明r算符平均值对时间的导数可以表示为 例题2. 一个体系的H?2m证： 一个算符期待值随时间的变化为

d?A1A??[A,H] dt?ti?对于本题， 右边第一项为零， 下面求[r2,H], 因为

p2H??V(r)

2m势能与坐标对易,所以

[r,H]?[r,p/2m]

利用坐标和相对应动量之间的关系

222[r2,p2]?[x2,px]?[y2,py]?[z2,pz]

222利用

[x,px]?i?及算符运算公式

xpx?pxx?i?

[AB,C]?A[B,C]?[A,C]B

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