南昌航空大学2013-2014学年第一学期概率答案

2013-2014学年第一学期概率期末试卷答案

南昌航空大学2013—2014学年第一学期期末考试概率答案

一、填空题（每空2分，共12分） 1、设P(A)?115,P(B)?，（1）如果A、B互不相容，则P(A?B)?__________；2362_____ 3如果A、B相互独立，则P(A?B)?________

解：如果A、B互不相容，则P(A?B)?P(A)?P(B)?如果A、B相互独立，则

5 6P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2 32、设随机变量X服从参数为?的泊松分布，其中??0，且P?X?1??P?X?2?,则

P?X?0?=____e?2_________

解：X的分布律为P?X?k???kk!e??

所以由P?X?1??P?X?2?可得：?e则P?X?0??e?2

????22!e??，从而??2

3、设X1与X2相互独立，其中X1在?0,6?上服从均匀分布，X2~N(0,4)，记

Y?X1?X2，则E(Y)=____3_________，D(Y)=____7_________

解：E(X1)?3,D(X1)?3,E(X2)?0,D(X2)?4 则E(Y)?E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)?3

D(Y)?D(X1?X2)?D(X1)?D(X2)?7

4、设总体X~N(?,?)，X1,X2,......,Xn是X的一个样本，则

2?i?1n(Xi??)2?2服从

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2013-2014学年第一学期概率期末试卷答案

______?2(n)___分布 解：X~N(?,?2)，

Xi???~N(0,1)，所以?i?1n(Xi??)2?2~?2(n)

二、（12分）某工厂的车床，钻床，磨床，刨床的台数之比为3:2:1:4，它们在一定时间内需要修理的概率分别为1,1,14312,1，求：（1）有一台机床需要修理的概率；（2）当有

4一台机床需要修理时，这台机床是车床的概率是多少？

解 设Ai(i?1,2,3,4)分别表示车床，钻床，磨床，刨床，B表示需要修理

3214,P(A2)?,P(A3)?,P(A4)?10101010 4分

1111P(BA1)?,P(BA2)?,P(BA3)?,P(BA4)?43124P(A1)?(1) P(B)??P(Ai)P(BAi)?i?14312111411???????? 8分 1041031012104431?P(A1B)P(A1)P(BA1)1043(2) P(A1B)???? 12分

1P(B)P(B)104三、（12分）已知随机变量X的概率密度为

?Ae?xf(x)???0求：（1）常数A；（2）P?0?X?0?x???其它，

??1?（3）分布函数F(x)。 ln3?；

2???0解 （1）

?????f(x)dx?1???A?1????f(x)dx??Ae?xdx??Ae?x??0?A?1 4分

111ln3ln3ln313???x?x22P0?X?ln3?f(x)dx?edx??e?1? (2) ? 2??0?023??0 8分 （3）当x?0时，F(x)?x???f(t)dt?0

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当x?0时，F(x)??x??ft(dt)??ft(dt)??e?tdt??e1?x

??00x?1?e?xF(x)???0x?0其它 12分

四、（16分）设(X,Y)的联合概率密度为

?y(1?x),0?x?1,0?y?x，f(x,y)??

0,其他.?（1）求边缘概率密度；（2）判断X,Y的独立性，并说明理由； （3）求E(XY)；(4) 求P?X?Y?1? 解 （1） 当0?x?1时 fX(x)??????f(x,y)dy??y(1?x)dy?0x12x(1?x) 2分 2 其它， fX(x)?0 3分 当0?y?1时

fY(y)??????f(x,y)dx??y(1?x)dx?y111y?y2?y3 5分 22其它， fY(y)?0 6分

（2）X,Y不相互独立。因为fX(x)fY(y)?f(x,y)。 8分 （3）E(XY)?????1??????xyf(x,y)dxdy??dx?xy2(1?x)dy

001x??141x(1?x)dx? 12分 0390（4）P?X?Y?1???120dy?1?yy11y(1?x)dx??(y?y2)dy? 16分

248120五、（12分）设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5 kg，均方差为0.1 kg ，问5000只零件的总重量超过2510 kg 的概率是多少？

?,,50，且0E(Xi)?0.5解 设Xi表示第i只零件的重量，i?1,2D,Xi(?)2 1)(0. 3分

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5000总重量为Y??Xi?1i，则有

E(Y)?5000?0.5?2500,D(Y)?5000?(0.1)2?50 6分

Y?2500近似 由独立同分布中心极限定理，知 Y~N(2500,50)，则~N(0,1) 8分

50近似?Y?25002510?2500??Y?2500?P?Y?2510??P???1.41? ??P?505050?????Y?2500??1?P??1.4142??1??(1.41)?1?0.9207?0.0793 12分

50??六、（8分）由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数??10.05,??0.06的正态分布。规定长度在范围10.05?0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。

2解 设螺栓的长度为X，则X~N(10.05,(0.，由题意，可得螺栓为不合格品的概 06)) 2分

率为

?X?10.05??X?10.05?P?X?10.05?0.12??P??2??1?P??2?

0.060.06???? 4分 6分

?1?[2?(2)?1]?2[1??(2)]?0.0456 8分

七 、（8分）在某校的一个班体检记录中，随意抄录25名男生的身高数据，测得平均身高为

170厘米，标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高?的置信水平为0.95的置信区间（假设身高近似服从正态分布）

解 由题意，n?25,x?170,s?12,??0.05，则该班男生的平均身高?的置信水平为

2分 0.95的置信区间为 (x?sst?(n?1),x?t?(n?1)) 5分 n2n21212t0.025(24),170?t0.025(24))?(165.1,174.9) 2525第 4 页 共 6 页

?(170?

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7分 8分 八、（10分）某长生产钢筋，要求强度为20.0，今从该厂生产的一批刚筋中，随机抽取8根进行强度测试，得X?19,S?0.41；设钢筋强度X服从正态分布，问这批钢筋是否合格？（??0.05；H0:??20,H1:??20）

解（1）由题意，作假设 H0:??20,H1:??20 2分 （2）检验统计量为 T?X??0~t(n?1) 4分 Sn （3）拒绝域为 W????,?t?(n?1)???t?(n?1),???

????????22 ????,?t0.025(7)???t0.025(7),???

????,?2.365???2.365,??? 6分

（4）t?19?20??6?W 8分

0.418 (5) 拒绝H0，接受H1，即钢筋不合格。 10分 九、（10分）设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中任取两次，每次取一件产品，取后不放回，令

?1,第一次取到的是次品X??

0,第一次取到的是正品??1,第二次取到的是次品Y??

0,第二次取到的是正品?求：1）二维随机向量(X,Y)的联合分布律；2）E(X),D(X).

解 1）(X,Y)所有可能取的值为：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) 1分 P?X?0,Y?0??7?677?37? , P?X?0,Y?1??? 10?91510?9303?773?21P?X?1,Y?0???? 5分 , P?X?1,Y?1??10?93010?915二维随机向量(X,Y)的联合分布律为

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X 0 1

Y

77 0 1530 71 1

6分 2） X 0 1 X的边缘分布律为

219 P

7分 则 E(X)?0?301530302199?1?? 8分 303030992221?12?? EX?0? 9分

303030981189D(X)?EX2?(EX)2??? 10分

30900900

附可能用到的数据：

1）?(1.41)?0.9207；?(2)?0.9772；

2）t0.025(24)?2.06t0.05(24)?1.7109，t0.025(7)?2.365t0.025(8)?2.306

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