设备设计1

第二节 回转薄壳应力分析

概念

壳体：以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向尺寸小得多的构件。 壳体中面：与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。

薄壳：壳体厚度t与其中面曲率半径R的比值（t/R）max≤1/10。 薄壁圆筒：外直径与内直径的比值Do/Di≤1.2。 厚壁圆筒：外直径与内直径的比值Do /Di≥1.2 。 3.2.1 薄壳圆筒的应力 1． 基本假设：

a.壳体材料连续、均匀、各向同性； b.受载后的变形是弹性小变形； c.壳壁各层纤维在变形后互不挤压。

典型的薄壁圆筒如图2-1所示。 A Bt DppB图2-1 薄壁圆筒在内压作用下的应力

A 47

2．B点受力分析：

内压P（ B点）：轴向：经向应力或轴向应力σφ

圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr

三向应力状态→（σθ 、σφ >>σr）→二向应力状态

因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σφ和σθ(见图2-1) 3． 应力求解

y ?? ?? Di p ?? (a) p ? x ?? 截面法

(b) 图2-2 薄壁圆筒在压力作用下的力平衡

应力求解 （静定，图2-2）

轴向平衡 ?4D2p??Dt?? 得 ????pD4tpD 2t圆周平衡 2?2pRisin?d??2t?? 得 ???0解得 ???2??3.2.2 回转薄壳的无力矩理论

K1O'R1K1K2xrR1K2θA'AxyR2?zR2?zrOBξ平行圆经线a.b.

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一、回转薄壳的几何要素：

回转薄壳：中面是由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转而成。 母 线：绕轴线（回转轴）回转形成中面的平面曲线,如OA 极 点：中面与回转轴的交点。 经线平面：通过回转轴的平面。

经 线：经线平面与中面的交线,即OA＇

平 行 圆：垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。

中面法线：过中面上的点且垂直于中面的直线，法线必与回转轴相交。 第一主曲率半径R1：经线上点的曲率半径。

第二主曲率半径R2：垂直于经线的平面与中面交线上点的曲率半径(K1B )等于考

察点B到该点法线与回转轴交点K2之间长度（K2B）

平行圆半径r：平行圆半径。

K1O'R1K1K2xrR1R2K2θA'AxyR2?z?zrOBξ平行圆经线a.图2-3 回转薄壳的几何要素

b. 同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。

曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。 r与R1、R2的关系： r=R2sin 二、无力矩理论与有力矩理论

平行圆?????????????N? 经线??a.b.c.图2-4 壳中的内力分量

49 内力：①薄膜内力：Nφ、Nθ、Nφθ、Nθφ——无力矩理论或薄膜理论（静定）

②弯曲内力：有力矩理论或弯曲理论（静不定）

A、横向剪力Qφ、Qθ B、弯矩转矩：Mφ、Mθ、

Mφθ、Mθφ、

即 无力矩理论: 只考虑薄膜内力, 忽略弯曲内力的壳体理论。

有力矩理论: 同时考虑薄膜内力和弯曲内力的壳体理论。

无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应力和变形。

3.2.3 无力矩理论的基本方程 一、壳体微元及其内力分量 微元体：a b c d

经线ab弧长：dl1?R1d? 截线bd长：dl2?rd?

微元体abdc的面积： dA?R1rd?d? 压力载荷： p?p(?)

微元截面上内力：N????t) N?(???t)

o'pmK1d?R2K2aR1??bm'K1o'R1K2R2d?O1??????adc??c??d???????????rd?bo??b.oa.o'K1d???d???R1F1??????d???F1d???a.cto'O1d???d?d???F2??d???c.doc.b.dd???o d.??F2a.bd???o'K12N?在法线d?上的分量?O1?2F2a(c)roe.b(d) 50

图2-5微元体的力平衡

二、微元平衡方程（图2-5） 微体法线方向的力平衡： 由 得

??tR2sin?d?d????tR1d?d?sin??pR1R2sin?d?d?

??R1???R2?p (2-3)??t微元平衡方程。又称拉普拉斯方程。 ?oDodrmpmnnoo 图2-6 部分容器静力平衡

三、区域平衡方程（图2-6）

压力在0-0′轴方向产生的合力：V?2??rm0prdr

作用在截面m-m′上内力的轴向分量：V'?2?rm??tcos? 区域平衡方程式：V?V'?2?rm??tcos? (2-4) 求解步骤：

a.由 求轴向力 V b.由(2-4)式求得 ?? c.将??代入(2-3)式求得??

无力矩理论的两个基本方程: 微元平衡方程、区域平衡方程。 3.2.4 无力矩理论的应用

分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力： ①承受气体内压的回转薄壳：a 球形薄壳

b 薄壁圆筒 c 锥形壳体

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