专题四 三角函数与复数

专题四 三角函数与复数

【考点聚焦】

考点1：函数y=Asin(?x??)(A?0,??0)的图象与函数y=sinx图象的关系以及根据图象写出函数的解析式

考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；

考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题； 考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；

考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理； 考点6、复数的基本概念及运算.

【自我检测】

1． 同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿. 2． 诱导公式是指α的三角函数与－α，180o??,90o??,270o??,360o－α，

k360o+α(k∈Z)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限. 3． 两角和与差的三角函数：sin(α?β)=_______________________;

cos(α?β)=________________________;tan(α?β)=_________________________. 4． 二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________ tan2α=_____________. 5． 半角公式：sin

???=_______，cos=_______,tan=________=________=______. 2226． 万能公式sinα=_____________,cosα=_____________,tanα=_____________.

7． 三角函数的图象与性质： 定义域 值 域 图 象 单调性 奇偶性 周期性 y=sinx y=cosx y=tanx 【重点?难点?热点】

问题1：三角函数的图象问题

关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数

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y=Asin(?x??)(A?0,??0)的图象与函数y=sinx图象的关系，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式. 例1．（05天津理）要得到y?2cosx的图象，只需将函数y?所有的点的

2sin(2x??4)的图象上

?1倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度 28?1B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

24A、横坐标缩短到原来的

?个单位长度 8?D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

4??思路点拨：将y?2sin(2x?)化为y?2cos(2x?)，再进行变换.

44??解答：变换1：先将y?2cos(2x?)的图象向左平移个单位，得到

48??再将y?2cos2x的图象的横坐标缩短y?2cos[2(x?)?]?2cos2x的图象，

84C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动到原来的2倍得到y?变换2：先将y?2cosx.

2cos2(x??4)的图象的横坐标缩短到原来的2倍，得到

y?2cosx(?y?2cosx.

?4)的图象，再将y?2cos(x??4)的图象向左平移

?个单位，得到4由上可得，应选C.

演变1：函数y?sin(?x??)(x?R,??0,0???2?)的部分图象如图，则（ ）

A．???26???5?C．??,?? D．??,??

4444,???4 B．???3,???

点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10坐标代入即可.

问题2：三角函数的求值问题

关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,

2

正确选择所求三角函数值的符号 例2：已知??2?x?0,sinx?cosx?1. 53sin2 （I）求sinx－cosx的值； （Ⅱ）求思路分析：将sinx-cosx=

xxxx?2sincos?cos22222的值.

tanx?cotx1平方，求出sinxcosx的值，进而求出（sinx-cosx）2，然后由角5的范围确定sinx-cosx的符号.

11,平方得sin2x?2sinxcosx?cos2x?, 5252449 即 2sinxcosx??.?(sinx?cosx)2?1?2sinxcosx?.

2525?7 又???x?0,?sinx?0,cosx?0,sinx?cosx?0, 故 sinx?cosx??.

25xxxxx3sin2?sincos?cos22sin2?sinx?12222?2 （Ⅱ）

sinxcosxtanx?cotx?cosxsinx121108 ?sinxcosx(2?cosx?sinx)?(?)?(2?)??

255125 解法一：（Ⅰ）由sinx?cosx?1?sinx?cosx?,? 解法二：（Ⅰ）联立方程?5

?sin2?cos2x?1.? 由①得sinx?①②

1?cosx,将其代入②，整理得25cos2x?5cosx?12?0, 54.53?sinx??,???5

???x?0,??42?cosx?.?5? ?cosx??或cosx?3575xxxxx3sin2?sincos?cos22sin2?sinx?12222?2 （Ⅱ）

sinxcosxtanx?cotx?cosxsinx3443108 ?sinxcosx(2?cosx?sinx)?(?)??(2??)??

5555125故 sinx?cosx??.

3

点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力. 演变1：已知sin(???727?)?,cos2??,求sin?及tan(??). 410253点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.

问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题

有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解. 例3：设函数f(x)?sin(2x??) (?????0),y?f(x)图像的一条对称轴是直线x??8.

（Ⅰ）求?；（Ⅱ）求函数y?f(x)的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y?f(x)在区间[0,?]上的图像.

思路点拨：正弦y=sinx的图象的对称轴为直线x?k??的横坐标即是使函数取得最值的x值. 解：（Ⅰ）?x??2(k?Z)，其对称轴与x轴交点

?8是函数y?f(x)的图像的对称轴，?sin(2??8??)??1,

??4???k???2,k?Z. ??????0,???3?. 43?3?,因此y?sin(2x?). 44?3??由题意得 2k???2x??2k??,k?Z.

2423??5?所以函数y?sin(2x?)的单调增区间为[k??,k??],k?Z.

4883?（Ⅲ）由y?sin(2x?)知

43?5?7?? x 0 8888（Ⅱ）由（Ⅰ）知???y ? ?2 2?2 2－1 0 1 0 故函数y?f(x)在区间[0,?]上图像是

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点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 演变3：已知向量

xx?x?x?a?(2cos,tan(?)),b?(2sin(?),tan(?)),令f(x)?a?b.

2242424求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.

问题4：“拆项”与“添项”的问题

“拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.

sin7??cos15?sin8?例4：（1）求的值； ???cos7?sin15sin8（2）已知：tan(???)?2?1?,tan(??)?，求：tan(??)的值. 5244思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7o、15o、8o，发现它们之间的关系是15o＝7o＋8o，故可将7o拆成15o－8o；同理在第（2）题中可以拆成两角差，即(???)?(???4???4).

sin7??cos15?sin8?sin(15??8?)?cos15?sin8?cos8?sin15?解：（1）＝＝ ?????????cos7?sin15sin8cos8cos15cos(15?8)?sin15sin81?cos30?＝tan15o==2?3 ?sin30(2) ∵

???=(???)?(??) 445

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