人教版高中数学必修四(1.4.2-1函数的周期性)

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正弦函数、 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

第一课时

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问题提出

1 5730 p= 2

t

1. 正弦函数和余弦函数的图象分别是什 二者有何相互联系？ 么？二者有何相互联系？

1 -4π -6π -5π -3π -1

9π 2

y

y=sinx

π

O

-2π

-π

3π 2π 4π

5π 6π

x

5π 2

7π 2 3π 2

π 1 2

O

y

π 2

3π 2

y=cosx

5π 2

9π 2

x

11π 2

7π 2

11π 2

-1

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1 5730 p= 2

t

世界上有许多事物都呈现“ 周而复始” 2. 世界上有许多事物都呈现 “ 周而复始 ” 的变化规律， 如年有四季更替， 的变化规律 ， 如年有四季更替 ， 月有阴 晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性 周期性， 晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性， 在函数领域里， 在函数领域里 ， 周期性是函数的一个重 要性质. 要性质.

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知识探究（ 知识探究（一）：周期函数的概念

思考1：由正弦函数的图象可知, 思考1 由正弦函数的图象可知, 线每相隔2π 个单位重复出现， 线每相隔 2 个单位重复出现 ， 律的理论依据是什么？ 律的理论依据是什么？

.

正弦曲 这一规

sin(x + 2kπ ) = sin x (k ∈ Z )

思考2：设f(x)=sinx，则sin(x + 2kπ ) = sin x 设f(x)=sinx， 可以怎样表示？其数学意义如何？ 可以怎样表示？其数学意义如何？

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思考3 为了突出函数的这个特性， 思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数 f(x)=sinx称为周期函数， kπ为 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为 这个函数的周期.一般地， 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？ 函数？ 对于函数f(x) ， 对于函数 f(x)， 如果存在一个非 f(x) 零常数T 使得当x 零常数 T ， 使得当 x 取定义域内的每一 个值时， 都有f(x+T)=f(x), 个值时 ， 都有 f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数 非零常数T 就叫做周期函数， f(x)就叫做周期函数 ，非零常数T就叫 做这个函数的周期. 做这个函数的周期.

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思考4 周期函数的周期是否惟一？ 思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？ 函数的周期有哪些？

思考5 如果在周期函数f(x) f(x)的所有周期 思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 中存在一个最小的正数 , 则这个最小正 数叫做f(x) 最小正周期.那么, f(x)的 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？ 数的最小正周期是多少？

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思考6 就周期性而言， 思考 6 ： 就周期性而言 ， 对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？ 什么结论？对余弦函数呢？

余弦函数是周期函数， 正、余弦函数是周期函数，2kπ k≠0 都是它的周期， （ k∈Z, k≠0 ） 都是它的周期 ， 最小 正周期是2 正周期是2π．

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知识

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