泰勒公式的应用_毕业论文(8)

毕业论文

3.2.2 函数项级数的敛散性判断

例5 设f x 在点x 0的某一领域内具有二阶连续导数，且

f x

lim 0。证明级数 fx 0xn 1

1

绝对收敛。 n

分析：由条件中“f x 在点x 0的某一领域内具有二阶连续导

f x

0易推得：数”这一信息可提示使用泰勒公式，又由条件lim

x 0x

这将使f x 在点x 0的泰勒展开式更加简单，便于f 0 f 0 0，利用比较判别法判敛。

f x

0及f x 在点x 0的某一领域内具有二阶连续解：由lim

x 0x

导数，可知f 0 limf x 0,f 0 lim

x 0

x 0

f x f 0 f x

lim 0x 0x 0x

将f x 在点x 0的某领域内展开成一阶泰勒公式：

f x f(0) f 0 x

11

f x2 f'' x2, 0,x 。 2!2!

又由题设f x 在属于某领域内含点x 0的一个小闭区间连续，因此存在M 0，使 f x M，于是|f x |

1

令x ，则|

n

1M2|f |x2 x， 22

1 1 M1

f | 2。因为 2收敛，故 fn2n n 1nn 1 1

绝对收敛。

n

注1 若无条件“f x 在点x 0的某一领域内具有二阶连续导数”，则结论不成立。反例：f x

x

。所以在用泰勒公式展开时，必须lnx

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