2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)(9)

由②，③，④得 ABQ

CBQ ACP BCP S S S S ????=， 即ABQ

ACP CBQ

BCP S S S S ????= 又ABQ

CBQ S AX S XC ??=，ACP BCP S AY S YB ??= 故AX AY XC YB

= 设边BC 的中点为M ，因为

1AX CM BY XC MB YA ??=， 所以由塞瓦定理知，,,AM BX CY 三线共点，交点即为T ，故由//YX BC 可得AT 平分线段XY 四、

解：考虑一组满足条件的正整数12201220(,,,,,,,)a a a b b b

对1,2,,5k = ，设120,,a a 中取值为k 的数有k t 个，根据X 的定义，当i j a a =时，(,)i j X ?，因此至少有521

k t k C

=∑个(,)i j 不在X 中，注意到5120k k t ==∑，则柯西不等式，我们有5

55552

2211111111120()(())20(1)3022525k t k k k k k k k k k C t t t t ======?-≥?-=??-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2203019030160C -=-=

另一方面，取4342414k k k k a a a a k ---====（1,2,,5k = ），6i i b a =-（1,2,,20i = ）， 则对任意,i j （120i j ≤<≤），有2()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤

等号成立当且仅当i j a a =，这恰好发生24530C =次，此时X 的元素个数达到22030160C -=

综上所述，X 的元素个数的最大值为160.

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