第5章 向量组的线性相关性

第五章 向量组的线性相关性

5.1 n维向量

5.2 向量组的线性相关性

5.3 矩阵的秩与向量组的秩

5.4 向量空间

5.5 基、维数与坐标 5.6 线性方程组解的结构 5.7 超定方程的解——最小二乘问题 5.8 应用实例 5.9 习题

5.1 n维向量

定义5.1 n个有次序的数构成的数组称为n维 向量。这n个数称为该向量的n个分量，称为 这个向量的第个分量，n也称为此向量的长度。 分别记

a1 a 2 a an

或

a a1, a2 , , an

为列向量和行向量，并规定列向量与行向 量都按矩阵的运算规则进行运算.本书中若 没有指明是列向量还是行向量时，都当作 列向量。为了节省篇幅，常把列向量写成

a a1 , a2 , , an

T

分量全为实数的向量称为实向量，分量 为复数的向量称为复向量. 分量全为零的向 量称为零向量，记为 0.

设a a1 , a2 , , an ， b b1 , b2 , , bn 为列 向量， 是一个数，则有 T (1) a + b a1 b1 , a2 b2 , , an bn

T T

(2) a

(3)

a1 , a2 , an

T

a1 a1b1 a a b abT 2 [b1 , b2 , , bn ] 2 1 (4) an a n b1

b1 b a Tb a1 , a2 , , an 2 a1b1 a2b2 anbn bn

a1b2 a 2 b2 a n b2

a1bn a 2 bn a n bn

5.2 向量组的线性相关性

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合称为向量组。

a11 a A 21 am1 a12 a22 am 2 a1n β1 a2 n β 2 α ,α , ,α 1 2 n amn βm

其中， βi ai1, ai 2 , , ain , i 1,2, , m.

α j a1 j , a2 j , , amj , j 1, 2, , n

T

α 称 β1 ,β2 , ,βm 为矩阵的行向量组， 1 ,α 2 , ,αn 为矩阵的列向量组。反过来，由有限个同 维数的向量适当排列可构成一个矩阵。 定义5.2 （1） 给定向量组 α1 ,α 2 , ,αn。对于任何一 组实数 k1, k2 , , kn，k1α1 k2α2 knαn 称为 k1 向量组 α1 ,α 2 , ,αn 的一个线性组合， , k2 , , kn 称为这个线性组合的系数。 （2）给定向量组 α1 ,α 2 , ,αn 及向量。若存 在一组数 1, 2 , , n ，使 b 1α1 2α2 nαn

则称向量 b 1α1 2α2 nαn 可由向量组 线性表示。 定义5.3 设有向量组 A : α1 ,α2 , ,αs向量组B : β1 ,β2 , ,βt 若向量组 A中的每一个向量都可由向 量组B线性表示，则称向量组 A 可由向量组B线 性表示；若向量组A与向量组B 可互为线性

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