常微分方程第三版课后答案(7)

=

2xy y2(x y)

2

d (y)

dy =

1x2

y (x y)

2

则

d (y)1x2y2 2xy1x2 2xy y21

dy y (x y)2 (x y)2 y (x y)2 y

1

(y) (1

y

1)dy lny y

u y2yy2 xy y2yx y lnx lny y lnxyx x y lnx x y

故此方程的通解为

ln

yx xy

x y

C 4

、2(3xy2 2x3)dx 3(2x2y y2)dy 0

解：

M

y

12xy， N

x

12xy . M y N

x

. 则此方程为恰当方程。 凑

微分，

6xy2dx 4x3dx 6x2ydy 3y2dy 0

3d(x2y2) d(x4) d(x3) 0

得 ：x4 3x2y2 y3 C

5.(

1ysinx

y-yy1x

2cosx+1)dx+(x

cosy

xx-

y2

sinx1y+y2)dy=0

解： M=1ysinx

y-yyx

2cosx+1 N=1

yxx

cos-y2

sinxxy+1y2

M y=-1

xxx1y

2 siny-y3cosy-x2 cosy+

yyxx3

sinx Nxxx x=-1

y

siny-12y3cosy-x2 cosyx

+yx3

siny

x 所以， M y

= N x，故原方程为恰当方程

因为

1x

yy1ysiny

dx-x2cosxdx+dx+x

cosy

dy-

xxxy2 sinydy+1y

2

dy=0 d(-cosx

y

)+d

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