学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳理

学而思教材编写组

前言

小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出 现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主 编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共 五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充 相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。

概述

一、 计 算 四则混合运算繁分数

1．

运算顺序 分数、小数混合运⑴

算技巧

⑵ 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；

②

乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质

⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如 ：

3． 估算

求某式的整数部分：扩缩法

4． 比较大小

① 通分

a. 通分母 b.

通分子

② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质

若， 则 c>b>a. 。形如：

，则 。

5． 定义新运算 6． 特殊数列求和

运用相关公式：

简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

1+2+3+4???( n-1 ) +n+ ( n-1 ) +-4+3+2+1=n

二数论 、

1． 奇偶性问题 奇 奇=偶 奇 偶=奇 偶 偶=偶

奇x偶=偶 偶x偶=偶

2．

位值原则

形如： =100a+10b+c

3． 2 3 5 9

数的整除特征：

整除数 特 征

末尾是 0、 2、4 、6、8 各数位上数字的和是 3的倍数 末尾是 0 或 5

各数位上数字的和是 9 的倍数

两者之差是

11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和， 4 和 25 末两位数是 4(或 25)的倍数 8 和 125 末三位数是 7、 11、13 4．

① ② ③

整除性质 如果 c|a 、

那么 c|(a b) 。

11 的倍数

8(或 125)的倍数

7(或 11 或 13)的倍数

末三位数与前几位数的差是

c|b ，

如果 bc|a ，那么 b|a ， c|a 。

如果 b|a ，

且( b,c ) =1, 那么

bc|a 。 a 整除。

c|a

如果

c|b,b|a, 那么 c|a.

a 个连续自然数中必恰有一个数能被 带余5．

一般

除法

地，如果a是整数，b是整数(b工0),那么一定有另外两个整数 当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。

q和r , Ow r < b,使得a=bx q+r

当r工0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。 用带余数除式又可以表示为

a * b=q ... r, 0 w r < b a=b x q+r

6. 唯一分解定理

任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即

n= p1 x p2 x ... x pk 7.

约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如 n= p1 x p2 x ... x pk那么：

n 的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1) . (ak+1)

n 的所有约数和：(1+P1+P1 + …p1 )( 1+P2+P2 + …p2 )???( 1+Pk+Pk + …pk ) 8.

同余定理

① 同余定义：若两个整数 a，b被自然数m除有相同的余数，那么称 a，b对于模m同余，用式子表 示为 a= b(mod m) ② 若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则 ③ 两数的和除以 m的余数等于这两个数分别除以

a，b的差一定能被c整除。

m的余数和。

④ 两数的差除以 m的余数等于这两个数分别除以 ⑤ 两数的积除以 m的余数等于这两个数分别除以

m的余数差。 m的余数积。

9．完全平方数性质

① 平方差： A -B = （A+B）（ A-B），其中我们还得注意 A+B, A-B同奇偶性。 ② 约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为 3 的是质数的平方。

③ 质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 ④ 平方和。

10 ．孙子定理（中国剩余定理） 11．辗转相除法

12．数论解题的常用方法： 枚举、归纳、反证、构造、配对、

三、 几 何图形

估计

1 ． 平面图形 ⑴多边形的内角和 N边形的内角和 =（N-2） X 180°

⑵等

积变三角形内等底等高的三角形 平形

行线内等底等高的三角形 公共

（位部分的传递性 极值原理（变与移、不变） 割补） ① ② ③

④ ⑶三角形面积与底的正比关系

S1 : S2 =a : b ； S1 :S2=S4 : S3 或者 S1 X S3=S2X S4

⑷相似三角形性质（份数、比例）

① ; S1 : S2=a2: A2 ② S1 : S3 : S2 : S4= a2 : b2 a+b)2 : ab : ab ; S=

⑸燕尾定理

SAABG AGC= BGE

SA BGA SA BGC= SA AGF

SA AGC SA BCG= SA ADG ⑹差不变原理

3。 知 5-2=3 ，则圆点比方点多 ⑺隐含条件的

等价代换 例如弦图中长短边长的关系。

⑻组合图形的思考方法 ① ② 化整为零

先补后去 ③ 2．

正反结合

立体图形

⑴规则立体图形的表面积和体积公式 ⑵不规则立体图形的表面积 整体观照法 ⑶体积的等积变形

① ②

水中浸放物体：

测啤酒瓶容积：V=V空气+V水

EC

SA GEC= BE: ；

FCSA GFC= AF：

SA DGB= AD ；DB

；

V升水=V物

⑷三视图与展开图 最短线路与展开图形状问题

⑸染色问题 几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

四、 典 型应用题 1 ． 植树问题 ①开放型与封闭型 ②间隔与株数的关系 2． 方阵问题 外层边长数 -2= 内层边长数 （外层边长数 -1 ）X 4=外周长数 外层边长数 2- 中空边长数 2=实面积数

3． 列车过桥问题

① 车长+桥长=速度X时间

② 车长甲+车长乙=速度和X相遇时间

③ 车长甲+车长乙=速度差X追及时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长=速度和X相遇时间 车长=速度差X追及时间

4． 年龄问题 差不变原理 5． 鸡兔同笼 假设法的解题思想 6． 牛吃草问题 原有草量=（牛吃速度-草

长速度）X时间 7． 平均数问题 8． 盈亏问题 分析差量关系 9． 和差问题 10 ． 和 倍问题 11．差倍问题 12 ． 逆 推问题

还原法，从结果入手 13． 代 换问题 列表消元法 等价条件代换

五、 行 程问题 1 ． 相遇问题 路程和=速度和X相遇时间

2． 追及问题 路程差=速度差X追及时间 3． 流水行船

顺水速度 =船速 +水速 逆水速度 =船速 - 水速 船速 =（顺水速度 +逆水速度） 水速=（顺水速度 -逆水速度） 4． 多次相遇 线型路程： 甲乙共行全程数 环型路程： 甲乙共行全程数

=相遇次数X 2-1 =相遇次数

其中甲共行路程=单在单个全程所行路程X共行全程数 5 ． 环形跑道 6． 行程问题中正反比例关系的应用 路程一定，速度和时间成反

比。 速度一定，路程和时间成正比。 时间一定，路程和速度成正 比。

7．

钟面上的追及问题。 ① 时针和分针成直线； 时针和分针成直角。 结合分数、工程、和差问题②

的一些类型。 行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方 8． 法。 计数问题

9． 加法原理：分类枚举 乘法原理：排列组合 容斥原理： 总数量

六、 =A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC 常用：总数量 =A+B-AB 抽屉原理： 1． 2． 3．

4． 至多至少问

题 5． 握手问题

在图形计数中应用广泛

① 角、线段、三角形， ② 长方形、梯形、平行四边形

③ 正方形 七、 分数问题

1． 量率对应

2． 以不变量为“ 1”

3． 利润问题

4． 浓度问题

倒三角原理

例：

5． 工程问题

① 合作问题

② 水池进出水问题 6． 按比例分配

八、 方 程解题

1． 等量关系 ① 相关联量的表示法

甲 + 乙 =100 例：

甲+乙=3

x 100-x

②解方程技巧

恒等变形

2． 二元一次方程组的求解 代入

法、消元法

3． 不定方程的分析求解 以系数 大者为试值角度 4． 不等方程的 分析求解

3x x