2020-2021备战中考数学与相似有关的压轴题及答案解析

2020-2021备战中考数学与相似有关的压轴题及答案解析

一、相似

1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点F（0， ），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：由抛物线过点A（-1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x-4），

将点C（0，2）代入，得：-4a=2， 解得：a=- ，

则抛物线解析式为y=- （x+1）（x-4）=- x2+ x+2

（2）解：由题意知点D坐标为（0，-2）， 设直线BD解析式为y=kx+b， 将B（4，0）、D（0，-2）代入，得：

，解得：

∴直线BD解析式为y= x-2，

，

∵QM⊥x轴，P（m，0），

∴Q（m，- m2+ m+2）、M（m， m-2）， 则QM=- m2+ m+2-（ m-2）=- m2+m+4， ∵F（0， ）、D（0，-2）， ∴DF= ， ∵QM∥DF，

∴当- m2+m+4= 时，四边形DMQF是平行四边形， 解得：m=-1或m=3，

即m=-1或3时，四边形DMQF是平行四边形。

（3）解：如图所示：

∵QM∥DF， ∴∠ODB=∠QMB， 分以下两种情况：

①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ， 则

∵∠MBQ=90°， ∴∠MBP+∠PBQ=90°， ∵∠MPB=∠BPQ=90°， ∴∠MBP+∠BMP=90°， ∴∠BMP=∠PBQ， ∴△MBQ∽△BPQ，

，

∴ ，即

，

解得：m1=3、m2=4，

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去， ∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；

②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′， 此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；

综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．

【解析】【分析】（1）A（-1，0）、B（4，0）是抛物线与x轴的交点，则可由抛物线的两点式，设解析为y=a（x+1）（x-4），代入C（0,2）即可求得a的值；

（2）由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，由D，F的坐标可求得DF的长度；由P（m,0）可得Q（m，-m2+m+2），而M在直线BD上，由B，D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，并当=m时，表示出点M的坐标，可用m表示出QM的长度。由QM=DF，列出关于m的方程，解之可得；

（3）在△DOB和△MBQ中，由QM∥DF，可知∠ODB=∠QMB，因为∠MBQ=90°要使△DOB和△MBQ相似，则需要∠DOB=∠MBQ=90°或∠DOB=∠BQM=90°。

2．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。 （1）若点N在BC之间时，如图：

①求证：∠NPQ＝∠PQN；

②请问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明； （2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠ADQ＝90°， AB//CD，∴∠APM＝∠DQM， ∵M是AD边的中点，∴AM＝DM，

，∴△APM≌△DQM（AAS），∴PM＝QM，

在△APM和△DQM中，

∵MN⊥PQ，∴MN是线段PQ的垂直平分线，∴PN＝QN，∴∠NPQ＝∠PQN ②

是定值