中考复习二次函数压轴题——与面积有关的问题（含答
案解析） 一、典型例题分析
例1．（2019·辽宁初三月考）如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】
本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 【分析】
（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜
OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；
（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝
1CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，2得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；
（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把
?y?x2?2x?3它与抛物线的解析式联立，得出方程组?，求解即可得出点Q的坐标．
y??3x?3?【答案解析】
（1）∵抛物线y＝x﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1）， ∵x1+x2﹣x1x2＝13， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13， ∴m2+3（m+1）＝13， 即m+3m﹣10＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣5． ∵OA＜OB，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）连接BE、OE．
22
2
2
∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED， ∴BE＝
1CD＝CE． 2令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵C（0，﹣3）， ∴OB＝OC，
又∵BE＝CE，OE＝OE， ∴△OBE≌△OCE（SSS）， ∴∠BOE＝∠COE，
∴点E在第四象限的角平分线上，
设E点坐标为（m，﹣m），将E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3， 得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝∵点E在第四象限，
1?13， 2∴E点坐标为（1?131?13，﹣）； 22（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．
∵S△ACQ＝2S△AOC， ∴S△ACF＝2S△AOC， ∴AF＝2OA＝2， ∴F（1，0）．
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3． ∵AC∥FQ，
∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b， 将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3， ∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．
?y?x2?2x?3联立?，
y??3x?3??x1??3?x2?2解得?，?，
y?12y??3?1?2∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．
例2: 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
?1?b?c＝0解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x+bx+c，?，解得：b=-4，c=3，
c＝3?2
∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；
（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC-OC=32-3 ∴P1（0，3+32），P2（0，3-32）；
②当PB=PC时，OP=OB=3， ∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3，
∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3-32）或（0，-3）或（0，0）；
1×（2-t）×2t=-t2+2t=-（t-1）2+1， 2即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1。 （3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，∴S△MNB=
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