（3）在（2）的条件下，直线BC与y轴交于点D，求以点A，B，D为顶点的三角形的面积； （4）在（3）的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
17S？18
解：（1）设正比例函数的解析式是y=kx，代入（﹣3，﹣3），得：﹣3k=﹣3，解得：k=1， 则正比例函数的解析式是：y=x； 设反比例函数的解析式是y=
，把（﹣3，﹣3）代入解析式得：k1=9，
则反比例函数的解析式是：y=； （2）m=
=﹣，则点B的坐标是（﹣6，﹣），
∵y=k3x+b的图象是由y=x平移得到， ∴k3=1，即y=x+b，
故一次函数的解析式是：y=x+； （3）∵y=x+的图象交y轴于点D， ∴D的坐标是（0，），
作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N．
∵A的坐标是（﹣3，﹣3），B的坐标是（6，﹣）， ∴M的坐标是（0，﹣3），N的坐标是（0，﹣）． ∴OM=3，ON=． 则MD=3+=
，DN=+=6，MN=3﹣=．
则S△ADM=×3×=，S△BDN=×6×6=18，S梯形ABNM=×（3+6）×=
+18==
， ；
．
则S四边形ABDM=S梯形ABNM+S△BDN=S△ABD=S四边形ABDM﹣S△ADM=
﹣
（4）设二次函数的解析式是y=ax2+bx+，
则，
解得：，
则这个二次函数的解析式是：y=x2+4x+； 点C的坐标是（﹣，0）． 则S=
×6﹣×6×6﹣×3×﹣×3×
S=
×
=
=45﹣18﹣﹣．
=
．
假设存在点E（x0，y0），使S1=
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴的下方， ∴y0＜0，
∴S1=S△OCD+S△OCE=××﹣×y0=∴
﹣y0=
，
﹣y0，
∴y0=﹣，
∵E（x0，y0）在二次函数的图象上， ∴x02+4x0+=﹣， 解得：x0=﹣2或﹣6．
当x0=﹣6时，点E（﹣6，﹣）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0=﹣6（舍去）． ∴E的坐标是（﹣2，﹣）．
4．（2019·辽宁中考模拟）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
b?2①，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的2a12表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b﹣3②，联立①、②解得：a?，
54812248b??，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y?x?x﹣3．
5556363当x=2时，y??，即顶点D的坐标为（2，?）；
55（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x??（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论： ①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±410，即点C坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；
②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5?222，即：点C坐标为（5?222，0）或（5﹣222，0）；
9797，则点C坐标为（，0）． 101097综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5?222，0）或（，0）；
10③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入
121212248，故函数的表达式为：y?x﹣3，设点P坐标为（m，m?m55551215122
﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△PAB??PH?xB?（?m+12m）=－
5225上式，9=5k﹣3，则k?2
6m+30m=?6(m?)?52257575，当m=时，S△PAB取得最大值为：． 22275． 2答：△PAB的面积最大值为
5．（2018·辽宁中考模拟）如图1，抛物线y=﹣x+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）
2
两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E． （1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
解析：（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
?1?b?c＝0{， ?16?4b?c＝0解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x+3x+4． （2）如图1所示：
2
∵令x=0得y=4， ∴OC=4． ∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°，
∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）． 则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|． ∴|a2-3a|=a． 解得：a=2，a=4．
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