19所以抛物线的解析式为y??x2?x?4，顶点D的坐标为（－1，）．
22（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为
95DH + CH = DH + HB = BD =BM2?DM2?313． 而 CD?12?(?4)2?．
2225?313． 2?2k1?b1?0,3设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 ? 解得 ，b1 = 3． k??1?92?k1?b1?,?2?∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =所以直线BD的解析式为y =?3x + 3． 2由于BC = 25，CE = BC∕2 =5，Rt△CEG∽△COB，
得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）． 同理可求得直线EF的解析式为y =
13x +． 22315，）． 48联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（
1（3）设K（t，?t2?t?4），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
2113135则 KN = yK－yN =?t2?t?4－（t +）=?t2?t?．
2222221132
所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t－3t + 5 =－（t +）
222292 +． 4329335即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．
242812．（2019·四川中考真题）如图，抛物线y?ax?bx?c的图象过点
2A(﹣，、10)B(3，、0)C(0，3).
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得
S?PAM＝S?PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A （﹣10，）、（B3，0）ax?1）（﹣）x3 ∴可设交点式y＝（（0，3）把点C代入得：﹣3a＝3
?a＝﹣1
?y＝-（x?1）（﹣）＝﹣x3x2?2x?3
∴抛物线解析式为y＝-x?2x?3
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得?PAC的周长最小． 如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称
2?PA＝PB
?C?PAC＝AC?PC?PA＝AC?PC?PB
∵当C、P、B在同一直线上时，PC?PB＝CB最小 QA（﹣10，）、（B3，0）、（C0，3）?AC?12?32?10,BC?32?32?32
?C?PAC＝AC?CB?10?32最小
设直线BC解析式为y＝kx?3
把点B代入得：3k?3＝0，解得：k＝﹣1 ∴直线BC：y＝﹣x?3
?yP＝﹣1?3＝2
∴点P使?PAC的周长最小，最小值为10?32． （1，2）（3）存在满足条件的点M，使得S?PAM＝S?PAC． ∵S?PAM＝S?PACS△PAM＝S△PAC ∴当以PA为底时，两三角形等高 ∴点C和点M到直线PA距离相等 ∵M在x轴上方
?CM//PA
，设直线AP解析式为y＝px?d QA（﹣10，），（，P12）??p?d?0?p?1?? 解得：?
p?d?2d?1??∴直线AP：y＝x?1
∴直线CM解析式为：y＝x?3
?y?x?3Q? 2?y??x?2x?3?x1?0?x2?1解得：?（即点C），?
y?3y?4?1?2∴点M坐标为 （，14）
13．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB． （1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．
（1）令：y＝x﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0）， ∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1， 则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得： 0＝﹣16+4b，解得：b＝4，
故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x； （2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3， 故点C（3，3），
作点C关于C1对称轴的对称点C′（﹣1，3）， 连接AC′交函数C2的对称轴与点P，
2
此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度?(4?1)2?32?34； （3）直线OC的表达式为：y＝x， 过点M作y轴的平行线交OC于点H，
设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x）， 则S△MOC?329312
MH×xC?（﹣x+4x﹣x）??x?， 22223， 2∵?＜0，故x?S△MOC最大值为
32
45． 8
相关推荐：
loading