第十九章 含参量正常积分

数学分析教案 §19 含参量积分

第十九章 含参量正常积分

§19.1 含参量正常积分

教学要求：

(1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．

(3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用

教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用

教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念

定义定义 设二元函数f(x,y)在矩形区域R?[a,b]?[c,d]上有定义，且对[a,b]内每一点

x，函数f(x,y)关于y在闭区间[c,d]上可积，则定义了x的

函数

I(x)??f(x,y)dy，x?[a,b] （1）

cd设二元函数f(x,y)在区域

函数c(x)，G?{(x,y)|c(x)?y?d(x),a?x?b}上有定义，

d(x)为[a,b]上的连续函数，且对[a,b]内每一点x，函数f(x,y)关于y在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则定义了x的函数

F(x)??d(x)c(x)df(x,y)dy，x?[a,b] （2）

d(x)称I(x)??cf(x,y)dy和F(x)??c(x)f(x,y)dy为含参量x的正常积分，x称为参变量。

类似可定义含参量y的正常积分．

含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 .

二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性

数学分析教案 §19 含参量积分

1. 连续性:

定理19.1(连续性) 若二元函数f(x,y)在矩形区域R?[a,b]?[c,d]上连续，则函数

I(x)??f(x,y)dy在[a,b]上连续．

cd分析 设x?[a,b]，对充分小的?x，有x??x?[a,b]（若x为区间端点则考虑?x?0或，要证I(x)在[a,b]上连续, 只须证I(x)在任意x?[a,b]上连续, 只须证???0,???0, ?x?0）

当|?x|??时, |I(x??x)?I(x)|??, 即 ???0,???0, 当|?x|??时,

|?[f(x??x,y)?f(x,y)]dy|?cd?dc|f(x??x,y)?f(x,y)|dy??.

要使上式成立， 只须 |f(x??x,y)?f(x,y)|??(d?c). 由f(x,y)在R上连续， 从而一致连续可得结果. 证明思路：连续的定义+一致连续。

证明 ?x∈[a,b]，取?x，使x +? x∈[a,b]，有

I(x +? x)-I(x) =?c?f(x??x,y)?f(x,y)?dx ， |I(x +? x)-I(x) |=?c|f(x??x,y)?f(x,y)|dx，

dd函数f(x,y)在闭矩形域D一致连续，即??>0, ??>0, ?(x1,y1), (x2,y2)∈D：| x1- x2|

特别是，? (x,y), (x +? x, y)∈R：|?x |

结论 设x0∈[a,b]，则limx?x0cd?df(x,y)dy??limf(x,y)dy (极限运算与积分运算交换顺序).

cx?x0bad同理，若二元函数f(x,y)在矩形区域R?[a,b]?[c,d]上连续，则函数J(y)??f(x,y)dx在[c,d]上连续．

定理19.2(连续性)设二元函数f(x,y)在区域

G?{(x,y)|c(x)?y?d(x),a?x?b}

上连续，其中函数c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数 ,则函数

F(x)??d(x)c(x)f(x,y)dy，x?[a,b] （6）

在[a,b]上的连续．

数学分析教案 §19 含参量积分

分析 已知定理19.1成立, 要证定理19.2, 要先进行变量变换, 将F(x)化为I(x)的形式. 对F(x)用换元积分法, 令y?c(x)?t(d(x)?c(x)), 当y在c(x)与d(x)之间取值时, t在[0,1]上取值, 且dy?(d(x)?c(x))dt, 代入得

F(x)??d(x)c(x)f(x,y)dy??f(x,c(x)?t(d(x)?c(x)))(d(x)?c(x))dt

01由于被积函数f(x,c(x)?t(d(x)?c(x)))(d(x)?c(x))在上[a,b]?[0,1]连续, 由定理19.1即得结论.

证明思路：辅助函数 应用举例 例1 求 lim?1????0?dx. 221?x??解 记I(?)??1???dx1?，由于，，连续，由定理19.2知I(?)在1??22221?x??1?x????0连续,所以

??0?lim?1??dx?221?x??dx???01?x24.

1 2. 可微性

定理19.3(可微性) 若函数f(x,y)与其偏导数

d?f(x,y)都在矩形区域R?[a,b]?[c,d]上?x连续，则函数I(x)??f(x,y)dy在[a,b]上可微，且

cddf(x,y)dy?dx?c?dc?f(x,y)dy . ?x即积分和求导次序可换 分析 要证结论成立, 只需证

I(x??x)?I(x)??x?0?xlim?dcd?f(x,y)dy??fx(x,y)dy

c?x?|d?I??fx(x,y)dy|?? ?xcd??|cf(x??x,y)dy??f(x,y)dycd?x??fx(x,y)dy|??

cd?|?[cdf(x??x,y)?f(x,y)?fx(x,y)]dy|??

?x数学分析教案 §19 含参量积分

?|f(x??x,y)?f(x,y)?fx(x,y)|??

?x利用函数与其导数之间的桥梁－拉格朗日中值定理

?|fx(x???x,y)?fx(x,y)|??, 利用fx连续即可.

证明思路：导数的定义+Lagrange中值定理+定理19.1 定理19.4(可微性) 若函数f(x,y)与其偏导数

?f(x,y)都在矩形区域R?[a,b]?[p,q]上?x连续，则F(x)?d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]的可微函数，c(x)，上可微，且

?d(x)c(x)f(x,y)dy 在[a,b]F?(x)??d(x)c(x)fx(x,y)dy?f(x,d(x))d?(x)?f(x,c(x))c?(x) . （7）

证明 把F(x)看作复合函数：

F(x)?H(x,c,d)??f(x,y)dy,其中c?c(x)，d?d(x),

cd由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有

d(x)?H?Hdc?HddF?(x)?????fx(x,y)dy?f(x,d(x))d?(x)?f(x,c(x))c?(x).

c(x)?x?cdx?ddx应用举例

例2 计算积分I??其思路是

1) 适当引入参量, 得到I(x)??cf(x,y)dy 原则是I?(x)??cfx(x,y)dy 要容易求积

dln(1?x)dx.

01?x21d2)利用端点条件，例如 解 考虑含参量积分I(?)??ln(1??x)dx. 201?x1，即可求出 I??Ix(t)dt

??显然I(0)?0, I(1)?I且函数I(?)在R?[0,1]?[0,1]上满足定理19.3的条件, 于是

I?(?)??x1dx?0(1?x2)(1??x)1??21?x?(???01?x21?x21??x)dx

1?1112 [?arctanx?ln(1?x)?ln(1??x)]2021??