为 5 ． 问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值． 问题解决
（3）如图③所示，AB、AC、∠BAC=60°，
是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，
路边建物资总站点P，
、线段AB和AC上
所对的圆心角为60°，新区管委会想在
在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在
选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）
分析:（1）设O是△ABC的外接圆的圆心，易证△ABO是等边三角形，所以AB=OA=OB=5；
（2）当PM⊥AB时，此时PM最大，连接OA，由垂径定理可知：AM=AB=12，再由勾股定理可知：OM=5，所以PM=OM+OP=18，
（3）设连接AP，OP，分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，所以AM=AP=AN，设AP=r， 易求得：MN=
r，所以PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=
r，即当AP最小时，PE+EF+PF
可取得最小值．
解答:解：（1）设O是△ABC的外接圆的圆心， ∴OA=OB=OC，
∵∠A=120°，AB=AC=5，
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∴△ABO是等边三角形， ∴AB=OA=OB=5，
（2）当PM⊥AB时，此时PM最大， 连接OA，
由垂径定理可知：AM=AB=12， ∵OA=13，
∴由勾股定理可知：OM=5， ∴PM=OM+OP=18， （3）设连接AP，OP
分别以AB、AC所在直线为对称轴，
作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N， 连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF， ∴AM=AP=AN，
∵∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，
∴∠BAC=∠PAB+∠PAC=∠MAB+∠NAC=60°， ∴∠MAN=120°
∴M、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上， 设AP=r， 易求得：MN=
r，
∵PE=ME，PF=FN，
∴PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=
r，
∴当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值， ∵AP+OP≥OA，
∴AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值， 设AB的中点为Q， ∴AQ=AC=3， ∵∠BAC=60°， ∴AQ=QC=AC=BQ=3， ∴∠ABC=∠QCB=30°，
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∴∠ACB=90°，
∴由勾股定理可知：BC=3∵∠BOC=60°，OB=OC=3∴△OBC是等边三角形， ∴∠OBC=60°， ∴∠ABO=90°
∴由勾股定理可知：OA=3∵OP=OB=3
，
﹣3r=3
， ﹣9
﹣9）km． ， ， ，
∴AP=r=OA﹣OP=3∴PE+EF+PF=MN=
∴PE+EF+PF的最小值为（3
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