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河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考
理科数学
本试卷4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z???3?4i?i在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集R，?x?2x，则 A.x?2?x?0
2??
B.x?2?x?0 D.xx??2或x?0
??C.xx??2或x?0
????3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：
2015年高考数据统计 则下列结论正确的是
A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少 B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍 C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同 D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
2018年高考数据统计
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4.已知等差数列?an?的公差为2，前n项和为Sn，且S10?100，则a7的值为 A.11
B.12
C.13
D.14
5.已知f?x?是定义在R上的奇函数，若x?0时，f?x??xlnx，则x?0时，f?x?? A.xlnx
B.xln??x? C.?xlnx
D.?xln??x?
xyx2y26.已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?和直线l:??1，若过C的左焦点和下顶点
ab43的直线与平行，则椭圆C的离心率为
A.
uuuruuur7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE?2EO，则
4 5 B.
3 5 C.
3 4 D.
1 5uuurED?
r2uuur1uuuA.AD?AB 33r1uuur2uuuC.AD?AB 33r1uuur2uuuB.AD?AB 33r2uuur1uuuD.AD?AB 338.某几何体的三视图如图所示，则此几何体
A.有四个两两全等的面 B.有两对相互全等的面 C.只有一对相互全等的面 D.所有面均不全等
9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图
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所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF?2AF?2，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是
A.
4 13B.2139C. 1326D.313 26??ex,x?0,10.已知函数f?x???（e为自然对数的底数），若关于x的方程
?lnx,x?0f?x??a?0有两个不相等的实根，则a的取值范围是
A.a??1
B.?1?a?1 C.0?a?1 D.a?1
x2y211.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆
abx2?y2?a2的切线，交双曲线右支于点M，若?F1MF2?45?，则双曲线的渐近线方程
为
A.y??2 B.y??3x
C.y??x
D.y??2x
12.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E，F，O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连结A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为?，则
sin?的最大值为
A.
2 2 B.
25 5''
C.26 5 D.26 6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?y?1?0,?13.已知实数x，y满足约束条件?2x?y?4?0,，则z?x?2y的最小值为________.
?y?0,?14.已知数列?an?，若数列3?n?111an?的前n项和Tn??6n?，则a5的值为________.
5515.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.
16已知函数f?x???sin???????x????x?2????的图像关于直线x?2对称，当
2??3??x???1,2?时，f?x?的最大值为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。 17.（12分）
如图，在?ABC中，P是BC边上的一点，?APC?60?，AB?23，AP?PB?4. （1）求BP的长； （2）若AC?53，求cos?ACP的值. 4
18.（12分）
在?ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB?2BC?2CD，如图1.以DE为折痕将?ADE折起，使点A到达点P的位置，如图2.
（1）证明：平面BCP?平面CEP；
（2）若平面DEP?平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。
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如图1
19.（12分）
如图2
某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x在?100,150?内，且其频率y满足y?10a?（1）求a的值；
（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.
nn?N*）（其中10n?x?10?n?1?，.
20
20.(12分）
已知抛物线E:x2?2py?p?0?的焦点为F，A?2,y0?是E上一点，且AF?2. （1）求E的方程；
（2）设点B是上异于点A的一点，直线AB与直线y?x?3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.
21.(12分）
已知函数f?x??eax?x?1?a?R?. （1）当a?1时，求证：f?x??0； （2）讨论函数f?x?的零点的个数。
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（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C?2x??2?t,??2的极坐标方程为??2sin??2acos??a?0?；直线l的参数方程为?（t为
?y?2t??2参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若点P的极坐标为?2,??，PM?PN?52，求a的值. 23.［选修4-5：不等式选讲］（10分） 已知函数f?x??x?2.
（1）求不等式f?x?1??xf?x?3?的解集；
（2）若函数g?x??log2??f?x?3??f?x??2a??的值域为R，求实数a的取值范围.
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参考答案及解析
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考·理科数学
一、选择题
1.D【解析】复数z???3?4i?i?4?3i.对应的点为?4,?3?，位于第四象限.故选D. 2.C【解析】由?x?2x，得x?2x?0，解得?2?x?0.所以
22CUM??xx??2或x?0?或.故选C.
3.D【解析】设2015年该校参加高考的人数为S，则2018年该校参加高考的人数为1.5S.对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S.2018年一本达线人数为0.24?1.5S?0.36S，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为0.32S，2018年二本达线人数为0.4?1.5S?0.6S，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为0.32S.2018年不上线人数为0.28?1.5S?0.42S.不达线人数有所增加.故选D.
4.C【解析】由S10?100及公差为2.得a1?1.所以an?2n?1，故a7?13.故选C. 5.B【解析】设x?0，则?x?0，所以f??x???xln??x?.又因为f?x?是定义在R上的奇函数，所以f??x???f?x?，所以f?x??xln??x?.故选B.
6.A【解析】直线l的斜率为?选A.
3b3c4222，所以?，又b?c?a，所以e??，故4c4a5uuuruuuruuurruuurruuuruuur2uuur1uuur1uuu1uuu7.C【解析】ED?EA?AD??AC?AD??AD?AB?AD?AD?AB.
3333??故选C.
8.B【解析】几何体的直观图为四棱锥P?ABCD.如图.因为AD?AB，PA?PA，
?BAP??DAP?90?.
所以?ABP≌?ADP.
因为BC?平面ABP，所以BC?BP.同理，CD?DP.
因为BP?DP，CD?BC，CP?CP，所以?BCP≌?DCP.又?ABP与?BCP不全等.故选B.
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9.A【解析】在?ABD中，AD?3，BD?1，?ADB?120?，由余弦定理，得
AB?AD2?BD2?2AD?BDcos120??13，
所以
DF2?. AB132S4?2?所以所求概率为?DEF?. ?S?ABC?13?13?故选A.
10.C【解析】画出函数f?x?的图像如图所示，由图可知?1??a?0，所以0?a?1.故选C.
11.A【解析】如图，作OA?F1M于点A.F2B?F1M于点B.因为F1M与圆
x2?y2?a2相切，?F1MF2?45?，所以OA?a，F2B?BM?2a，F2M?22a，
F1B?2b.又点M在双曲线上.所以F1M?F2M?2a?2b?22a?2a.整理，得b?2a.所以
b?2.所以双曲线的渐近线方程为y??2x。故选A. a
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12.B【解析】连结EF.因为EFP平面ABCD.所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线.过点O作GHPBC交CD于点G，交AB于H点，则GHPEF，连结EH，FG.则平行四边形EFGH即为截面.则五棱柱
A1B1EHA?D1C1FGD为V1，三棱柱EBH?FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点
作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连结A1N，则?MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以?MA1N??.
因为sin??MN，要使?的正弦值最大，必须MN最大，A1M最小，当点M与点HA1M?MN?HN25.故选B. ???5?A1M?maxA1H重合时符合题意.故?sin??max??
二、填空题
13.?3【解析】可行域如图所示， 当直线y?xz?x?y?1?0,?经过点A时，z取得最小值.解方程组?可得点22?2x?y?4?0,A?1,2?，所以zmin??3.故填?3.
14.16【解析】据题意，得a1?3a2?3a3?????3所以当n?2时，a1?3a2?3a3?????32n?22n?111an??6n?，
5511an?1??6n?1?.
55''
两式相减，得3n?111an??6n??6n?1?6n?1.所以当n?2时，an?2n?1，故a5?16.
55315.120【解析】C100?120.故填120.
16.4【解析】据题意知，函数y?x?2的图像关于直线x?2对称，曲线
??????y?sin?x???关于直线x?2对称，所以?2???k??，k?Z.所以??k??，
326?3?k?Z.因为????????，所以???.所以f?x???sin?x???x?2.又
6?26?3????y??sin?x??与y?x?2在区间??1,2?上都为减函数，所以
6??3f?x?max?f??1??4.
三、解答题
17.解：（1）由已知，得?APB?120?………………………………………………1分 又AB?23，AP?BP?4， 在?ABP中，由余弦定理， 得23??2?BP2??4?BP??2?BP??4?BP?cos120?，……………………4分
22整理，得BP?4BP?4?0.解得BP?2.…………………………………………6分 （2）由（1）知，AP?2， 所以在?ACP中，由正弦定理.得
ACAP?，…………………………8分
sin60?sin?ACP34解得sin?ACP?2?2?.………………………………………………………9分
5354因为2?53，所以AP?AC，从而?ACP?APC，即?ACP是锐角，……11分 423?4?所以cos?ACP?1????.……………………………………………………12分
5?5?18.（1）证明：在题图1中，因为AB?2BC?2CD，且D为AB的中点。由平面几何知识，得?ACB?90?.…………………………………………………………………1分
又因为E为AC的中点，所以DEPBC……………………………………………2分 在题图2中，CE?DE，PE?DE，且CEIPE?E，
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所以DE?平面CEP，
所以BC?平面CEP.…………………………………………………………………4分 又因为BC?平面BCP，
所以平面BCP?平面CEP.…………………………………………………………5分 （2）解：因为平面DEP?平面BCED，平面DEPI平面BCED?DE，EP?平面DEP，EP?DE.
所以EP?平面BCED.………………………………………………………………6分 又因为CE?平面BCED，
所以EP?CE.…………………………………………………………………………7分
uuuruuurruuu以E为坐标原点，分别以ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如
图所示的空间直角坐标系.…………………………………………………………………8分
在题图1中，设BC?2a，则AB?4a，AC?23a，AE?CE?3a，DE?a. 则P0,0,3a，D?a,0,0?，C0,3a,0，B2a,3a,0.
??????uuuruuuruuur所以DP??a,0,3a，BC???2a,0,0?，CP?0,?3a,3a.……………9分
????设n??x,y,z?为平面BCP的法向量，
uuur????2ax?0,?n?BC?0,则?uuu，即? r????3ay?3az?0.?n?CP?0,令y?1，则z?1.所以n??0,1,1?.…………………………………………………11分 设DP与BCP平面所成的角为?，
uuurn?DPuuuruuur3a6?则sin??sinn,DP?cosn,DP?. uuur?42?2anDP所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为
6.…………………………………12分 4
9.解：（1）由题意知：10?n?14，所以的取值为10，11，12，13，14，………1分
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代入y?10a?n，可得20?10a?0.5???10a?0.55???10a?0.6???10a?0.65???10a?0.7??1，………………3分
解得a?0.08.……………………………………………………………………………4分 （2）由（1），得y?0.3,0.25,0.2,0.15,0.1，频率分布直方图如图：……………6分
这40名新生的高考数学分数的平均数为
105?0.30?115?0.25?125?0.20?135?0.15?145?0.10?120. ……………………8
分
（3）由题意可知，??0,1,2,3,4，且“高考数学分数不低于130分”的概率为
?1?0.15?0.1?0.25，所以?～B?4,?……………………………………………………10分
?4?所以E????4?1?1.…………………………………………………………………12分 410.（1）解：根据题意知，4?2pya，①……………………………………………1分 因为AF?2，所以ya?p?2.②. …………………………………………………2分 2联立①②解的ya?1，p?2.………………………………………………………… 4分 所以E的方程为x?4y.………………………………………………………………5分 （2）证明：方法一，设B?x1,y1?，M?x2,y2?.由题意，可设直线BM的方程为
2y?kx?b，代入x2?4y，得x2?4kx?4b?0.
（3）由根与系数的关系.得x1?x2?4k，x1x2??4b.③…………………………6分 由MP?x轴及点P在直线y?x?3上，得P?x2,x2?3?， 则由A，P，B三点共线，得
x2?4kx1?b?1?，………………………………8分 x2?2x1?2整理，得?k?1?x1x2??2k?4?x1??b?1?x2?2b?6?0.
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将③代入上式并整理，得
?2?x1??2k?b?3??0. ……………………………………………………………………10分
由点B的任意性，得2k?b?3?0，所以y?kx?3?2k?k?x?2??3.
即直线BM恒过定点?2,3?. ……………………………………………………………12分
?n2?方法二，设P?t,t?3?，B??n,4??，
???t2??n2?则M??t,4??，AB???n?2,4?1??，AP??t?2,t?4?.…………………………6分
????由A，B，P三点共线，得AB∥AP，
?n2?即?n?2??t?4????4?1???t?2??0，即?n?2??2t?2n?tn?12??0.…………8分
??当n?2时，点B坐标为?2,1?，与A?2,1?重合，不合题意； 当n?2时，2t?2n?tn?12?0， 整理，得
ntt?n??3.③ 42因为kBMt2n2?44?n?t， ?t?n4t2n?t?x?t?. ……………………………………10分 所以直线BM的方程为y??44n?tt2?n?t?tx??结合③.得y? 444???n?tntx? 44n?tt?nx??3 42n?t?x?2??3， 4所以直线BM恒过定点?2,3?. ………………………………………………………12分 21.（1）证明：当a?1时，f?x??e?x?1，则f??x??e?1.………………1分
xx由f??x??0.得x?0.
当x?0时，f??x??0；当x?0时，f??x??0，
''
所以函数f?x?在区间???,0?内是减函数。在区间?0,???内是增函数，………3分 所以x?0是f?x?的极小值点，也是最小值点.且f?x?min?f?0??0，
故当a?1时.f?x??0恒成立.………………………………………………………5分 （2）解：据题意，得f??x??ae?1.
ax①当a?0时，f??x??0恒成立.则函数f?x?在R上是减函数。
又f?0??0，所以函数f?x?有且只有一个零点. …………………………………6分 ②当a?0时.由f??x??0，得x?当x?当x?11ln. aa11ln时，f??x??0； aa11ln时，f??x??0， aa??11??11?ln?内是减函数，在区间?ln,???内是增函数。 aa??aa?所以f?x?在区间???,所以x?11ln是函数f?x?的极小值点，也是最小值点， aa?11?111ln???ln?1.…………………………………………7分 aa?aaa?即f?x?min?f?令h?t??t?tlnt?1?t?0?， 则h??t??1??1?lnt???lnt， 当t?1时，h??t??0； 当0?t?1时，h??t??0； 当t?1时，h??t??0，
所以函数h?t?在区间?0,1?内是增函数，在区间?1,???内是减函数， 从而t?1是函数h?t?的极大值点.也是最大值点，所以h?t??h?1??0， 即f?x?min?当f?x?min?当f?x?min?讨论：
111?ln?1?0（当且仅当a?1时取等号）………………………9分 aaa111?ln?1?0，即a?1时，函数f?x?只有一个零点…………10分 aaa111?ln?1?0，即a?0，且a?1时，分a?1和0?a?1两种情况aaa''
（i）当a?1时，?1?区间???,11ln?0，因为f??1??eax???1??1?eax?0，所以f?x?在aa??11?ln?内有一个零点；又f?0??0，因此f?x?有两个零点. aa?（ii）当0?a?1时，
x11ln?0； aa由（1），得e?x?1.即x?ln?x?1?，亦即lnx?x?1. 令x?2222?2?.则得ln??1，即?ln????1?，
aaaa?a?222?22?2lna22?2?2?2??ln?1??????1??1??1?0， 所以f?ln??eaaa?aa??a?a?a?所以f?x?在区间?又f?0??0，
因此函数f?x?有两个零点.
由（i）和（ii），得当a?1或0?a?1时，函数f?x?有两个零点. 综上，当a?0或a?1时，函数f?x?只有一个零点；
当a?0.且a?1时，函数f?x?有两个零点。………………………………………12分 22.解：（1）由??2sin??2acos??a?0?，得??2?sin??2a?cos??a?0?，
2?11?ln,???内有一个等点. ?aa?所以曲线C的直角坐标方程为x?y?2y?2ax，
即?x?a???y?1??a?1，…………………………………………………………3分
22222直线l的普通方程为y?x?2. …………………………………………………………5分
?2x??2?t,??222（2）将直线l的参数方程?代入x?y?2y?2ax并化简、整理，
?y?2t?2?得t?32?2at?4a?4?0.……………………………………………………5分 因为直线l与曲线C交于M，N两点。
所以Δ?32?2a?4?4a?4??0，解得a?1.…………………………………6分 由根与系数的关系，得t1?t2?32?2a，t1t2?4a?4. ………………………7分
2????2''
因为点P的直角坐标为??2,0?，在直线l上。
所以PM?PN?t1?t2?32?2a?52，……………………………………9分 解得a?2，此时满足a?0.且a?1，
故a?2.…………………………………………………………………………………10分 23.解：（1）由已知不等式，得x?1?xx?1.………………………………………1分
?0?x?1,?x?1,考虑到x?0，不等式又可化为?2或?2………………………3分
x?2x?1?0x??1.??解得2?1?x?1或x?1.
所以不等式f?x?1??xf?x?3?的解集为
?2?1,??.………………………………5分
?（2）设h?x??f?x?3??f?x??2a，则h?x??x?2?x?1?2a. 因为x?2??x?1??2a?3?2a当且仅当x???1,2?时取等号，
所以h?x?min?3?2a. …………………………………………………………………7分 因为函数g?x??log2?f?x?3??f?x??2a?的值域为R， 所以f?x?3??f?x??2a?0有解，即x?2?x?1?2a. 因为x?2?x?1?3，所以2a?3，即a?3. 2所以实数a的取值范围是?,???.…………………………………………………10分
?3?2??
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