同时还要关注分界点附近函数值变化情况。 易错点16 函数零点定理使用不当
【问题】若函数f(x)在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在（-2,2）内有一个零点，则f(-2)·f(2)的值 （ ） A 大于0 B 小于0 C 等于0 D 不能确定 错解：由函数零点存在定理知，f(-2)·f(2)<0，故选B
剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数f(x)在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则
f(-2)·f(2)<0，否则f(-2)·f(2)≥0.
正确答案：D
反思：函数零点定理是指如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)?0，那么函数f(x)在区间(a,b)内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。 易错点17 混淆两类切线的概念
【问题】: 若直线y = kx与曲线y?x?3x?2x相切试求k的值。（提示y=kx即过原点的切线） 错解：Qy??3x?6x?2，∴斜率k?2，
剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。 正确答案：k?2或k??2321 4反思：曲线在点P处的切线”P为切点且P在曲线上，而“过点P的切线”仅能说明点P在曲线的切线上。 易错点18 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
【问题】:函数f(x)?x?ax?bx?a在x=1处有极值10，求a,b的值。 错解：由f(1)?10,f?(1)?0解得a?4,b??11或a??3,b?3
剖析：对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把f(x0)为极值的必要条件当作充要条件。
正确答案：a=4,b=-11
反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是f?(x0)?0且f?(x)在x0两侧异号。。
易错点19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
【问题】:若函数f(x)?ax?x在R上为减函数，求实数a的取值范围。
3322?a?02?f(x)=3ax?1?0错解：由在R上恒成立，∴? ，解得a?0
??12a?0?
剖析：概念模糊，错把f(x)在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上a?0时满足题意。 正确答案：a?0
反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。
易错点20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
【问题】: 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则y = f(x)的图象最有可能的是______.
错解：选A,B,D
剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于f?(0)?f?(2)?0，且两边值符号相反，故0和2为极值点；又因为当当0?x?2时，f?(x)?0，所以函数f(x)在(??,0)和(2,+?)上为增函数，在(0,2)x?0和x?2时，f?(x)?0，
上为减函数。
正确答案：C
反思：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。
易错点21求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例
a?2x?1?1f?x??是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数f?x? x1?2剖析：求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
解析：（1）利用
f?x??f??x??0（或f?0??0）求得a=1.
2x?11?yxx1?yf?x??x，设y?f?x?,则2?1?y??1?y由于y?1故2?，x?log2，而
2?11?y1?y（2）由a?1即
1?x2x?12?1f?x??x?1?x???1,1?所以f?x??log21?x??1?x?1?
2?12?1反思：（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R
可省略）。 （2）应用
f?1(b)?a?f(a)?b可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。
【练3】函数A、C、
f?x??x?1?1?x?1?的反函数是（ ）
y?x2?2x?2?x?1? B、y?x2?2x?2?x?1? y?x2?2x?x?1? D、y?x2?2x?x?1?
答案：B
三、数列
易错点22 由Sn求an时忽略对“n?1”检验
2【问题】:已知数列｛an｝的前n 项和Sn?n?n?1，求an。
错解：由an=Sn?Sn?1解得an=2n?2
剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了an=Sn?Sn?1成立的条件n≥2，实际上当n=1时就出现了S0，而S0是无意义的，所以使用an=Sn?Sn?1求an，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个an表示，尚需检验。 正确答案：an??(n?1)?1 *2n?2(n?2,n?N)?(n?1)?S1，在使用这个关系*?Sn?Sn?1(n?2,n?N)反思：在数列问题中，数列的通项an与其前n 项和Sn之间关系如下an??式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛an｝的an与Sn关系时，先令n?1求出首项a1，然后令n?2求出通项an?Sn?Sn?1，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令n?2求出通项an?Sn?Sn?1，也不对n?1进行检验。
易错点23 忽视两个“中项”的区别
【问题】: b?ac是a,b,c成等比数列的 （ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分有不必要条件 错解： C
剖析：思维不缜密，没有注意到当b?ac 时，a,b,c可能为0。 正确答案：B
反思：若a,b,c成等比数列，则b为a和c的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “b?ac”仅是“b为a和c的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。
易错点24在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。 【问题】已知数列?an?是等差数列，且a1?2,a1?a2?a3?12
（1）求数列
222?an?的通项公式（2）令bn?anxn?x?R?求数列?bn?前项和的公式。
剖析：本题根据条件确定数列?an?的通项公式再由数列?bn?的通项公式分析可知数列?bn?是一个等差数列和一个等比数列构成的
“差比数列”，可用错项相减的方法求和。 解析：（1）易求得an（2）由（1）得bn?2n
?2nxn令sn?2x?4x2?6x3?K?2nxn（Ⅰ）则xsn?2x2?4x3?K?2?n?1?xn?2nxn?1（Ⅱ）
用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得
?1?x?sn?2x?2x2?2x3?K?2xn?2nxn?1当
n?2?x?1?x?n?1??nx?当x?1时sn?2?4?6?K?2n?n?n?1? x?1sn?1?x?1?x???综上可得：
n?2?x?1?x?n?1?当x?1sn??nx?当x?1时sn?2?4?6?K?2n?n?n?1? 1?x?1?x???反思：一般情况下对于数列?cn?有cn?anbn其中数列?an?和?bn?分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的
每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练】已知un?an?an?1b?an?2b2?K?abn?1?bnn?N?,a?0,b?0??当a?b时，求数列?a?的前n项和s
nn答案：a?1时sn?n?1?an?2??n?2?an?1?a2?2a?当a?1时sn2?1?a??n?n?3?2.
易错点25:不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。
例、求Sn?1111． ???…?11?21?2?31?2?3???n剖析：本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余
哪些项规律不清而导致解题失误。
解：由等差数列的前n项和公式得1?2?3???n?n(n?1)1211，∴??2(?)，n取1，2，21?2?3???nn(n?1)nn?13，…，就分别得到,1111111111，…，∴Sn?2(1?)?2(?)?2(?)???2(?,)
11?21?2?322334nn?112n． ?2(1?)?n?1n?1反思：“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求1111，方法还是抓通项，即?????22221?22?43?6n?2n1n?n?1，11111??(?)，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：an?n2?2nn(n?2)2nn?2求其前n项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 22?142?162?1(2n)2?1【练】求和Sn?2＋＋＋…＋．
2?142?162?1(2n)2?1111111112n?1???1???1???…?1??＝n?
1335572n?12n?12n?1易错点26 等比数列求和时忽视对q讨论
答案：Sn【问题】:在等比数列｛an｝中，Sn为其前n 项和，且S3?3a3，求它的公比q。
1a1(1?q3)错解： QS3=?3a3，解得q=-
21?q剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q是否等于1进行讨论，导致失误。
正确答案：q=-或q=1
反思：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0，等比数列的其前n项和
12Sn为分段函数，其中当q=1时，Sn?na1。而这一点正是我们解题中被忽略的。
易错点27 用错了等差、等比数列的相关公式与性质
【问题】:已知等差数列｛an｝的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和S3m。 错解一：170
剖析：基础不实，记错性质，误以为Sm,S2m,S3m成等差数列。 错解二：130
剖析：基础不实，误以为Sm,S2m,S3m满足S3m?Sm?S2m。
正确答案：210
反思：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。 易错点28 用错位相减法求和时项数处理不当
2n?1【问题】:求和Sn?1?3a?5a?L?(2n?1)a。
剖析：①考虑不全面，未对a进行讨论，丢掉a?1时的情形。
②将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。 ③将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。
?n2(a?1)正确答案：sn?? ?12a(1?an?1)2n?1n?1?a?(1?a)2?1?aa(a?1)?反思：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分①原来数列的第一项；②一个等比数列的前n-1项和；③原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共n项，有时只有n?1项。另外，如果公比为字母需分类讨论。
易错点29利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始） 【问题】等差数列?an?的首项a1?0，前n项和sn，当l?m时，sm?sl。问n为何值时sn最大?
剖析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正
整数集这个限制条件。 解析：由题意知sn=
f?n??na1?n?n?1?2d?d2?d?n??a1??n此函数是以n为变量的二次函数，因为a1?0，当l?m时，22??l?m?时f?x?取得最大值，但由于n?N，故若l?m2sm?sl故d?0即此二次函数开口向下，故由f?l??f?m?得当x?l?m时，sn最大。 2l?m?1当l?m为奇数时，当n?时sn最大。
2为偶数，当n?反思：数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想
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