解析：由图可知，阴影面积＝a1b1＋a2b2，而空白面积＝a1b2＋a2b1，根据顺序和≥反序和知，应填“≥”． 答案：≥
15．设实数a1，a2，a3满足条件a1＋a2＋a3＝2，则a1a2＋a2a3＋a3a1的最大值为________．解析：由柯西不等式，得(a2
2
2
2
2
2
2
1＋a2＋a3)·(1＋1＋1)≥(a1＋a2＋a3)＝4， 于是a222
41＋a2＋a3≥3
.
故aa1222212
122214412＋a2a3＋a3a1＝2[(a1＋a2＋a3)－(a1＋a2＋a3)]＝2×2－2(a1＋a2＋a3)≤2－2×3＝3.
当且仅当a2
1＝a2＝a3＝3时取等号．
答案：43
16. 已知正实数x1，x2，…，xn满足x1＋x2＋…＋xn＝P，P为定值．
则F＝x2x2x212n－x2x＋＋…＋1＋n的最小值为________．
2x3xnx1
解析：不妨设0 >0. 1x2 xn且0 22 1≤x2≤…≤xn. ∵1x，1，…，1，1为序列{1 }的一个排列． 2x3xnx1xn根据排序不等式，得 x2x2x2x2F＝1x＋2＋…＋n－1＋n≥x2121211·x＋x2·＋…＋xn· 2x3xnx11x2xn＝x1＋x2＋…＋xn ＝P(定值)， ＝x2x2即式子F2x2n－1x21nx＋x＋…＋＋x的最小值为P. 23xn1 答案：P 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5 17．(12分)已知a>0，b>0，且a＋b＝1.求证：2a＋1＋2b＋1≤22. 证明：由柯西不等式得： (2a＋1·1＋2b＋1·1)≤(2a＋1＋2b＋1)(1＋1)＝8. 所以2a＋1＋2b＋1≤22. 111 18．(12分)若正数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值． 3a＋23b＋23c＋2解析：因为正数a、b、c满足a＋b＋c＝1， 所以? 2 ?1＋1＋1?[(3a＋2)＋(3b＋2)＋ ? ?3a＋23b＋23c＋2? (3c＋2)] ＝?? ????1?2??＋? 3a＋2??3a＋2 2 1?2??＋? 3b＋2?? 2 1?2???· 3c＋2?? 2 [ ?? ＋3b＋2＋3c＋2 ] 1·3c＋2 ≥? 1 ·3a＋2＋ 3a＋21 ·3b＋2＋ 3b＋2 故 2 3c＋2 ??＝9. 又3a＋2＋3b＋2＋3c＋2＝3(a＋b＋c)＋6＝9， 1111＋＋≥1，当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝时上式取等号． 3a＋23b＋23c＋23 19．(12分)设a、b、c∈R＋，利用排序不等式证明： (1)ab>ab(a≠b)； (2)abc≥a2a2b2cabbab＋cc＋aa＋bbc. B． 证明：(1)不妨设a>b>0，则lg a>lg 从而alg a＋blg b>alg b＋blg a， ∴lg a＋lg b>lg b＋lg a， 即lg ab>lg ba，故ab>ab. abababbaabab(2)不妨设a≥b≥c>0，则lg a≥lg b≥lg c. ∴alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c， alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c. ∴2alg a＋2blg b＋2clg c ≥(b＋c)lg a＋(a＋c)lg b＋(a＋b)lg c. ∴lg(a·b·c)≥lg(a2a2b2cb＋c·ba＋c·ca＋b)． 6 故abc≥a2a2b2cb＋cc＋aa＋bbc. 111＋＋≤λ恒成立，求x＋yy＋zz＋x20．(12分)已知正数x、y、z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式 λ的取值范围． 解析： 111111＋＋≤＋＋ x＋yy＋zz＋x2xy2yz2zx1?＝?1× 2?1?≤?2?＝ 2 2 z＋1× x＋y＋z2 x＋1× x＋y＋zy? ? x＋y＋z? 1＋1＋1 ?z＋x＋y??1 ?x＋y＋zx＋y＋zx＋y＋z??2??? 3?3? ，λ的取值范围是?，＋∞?. 2?2? 12n－1a1a221．(13分)设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列，求证：＋＋…＋≤＋＋…＋ 23na2a3 an－1 . an证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1 111则>>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n， c1c2cn－1 利用排序不等式有： a1a2an－1b1b2bn－112n－1＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋. a2a3anc1c2cn－123n22．(13分)某自来水厂要制作容积为500 m的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)： ①19×19；②30×10；③25×12. 请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)． 解析：设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m、b m、c m， 由题意，可得abc＝500， 长方体水箱的表面积为：S＝2bc＋2ac＋ab. 332 由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥32bc·2ac·ab＝34×500＝300. 当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时， 3 S＝2bc＋2ca＋ab＝300为最小， 这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省． 7 如何选择材料并设计制作方案，就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图． 逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图，如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)． 可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行． 8
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