2020理数第一章 第一节 集合 

第一章 集合与常用逻辑用语

第一节 集合

[考纲要求]

1．了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系．

2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中,了解全集与空集的含义．

5．理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集． 7．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算．

突破点一 集合的概念与集合间的基本关系

[基本知识]

1．集合的有关概念

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a属于集合A,记作a∈A；若b不属于集合A,记作b?A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．集合间的基本关系

表示 关系 集合间的基本关系 真子集 子集 文字语言 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 记法 A?B或B?A

集合A中的每一个元素都是集合B相等 中的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素 空集是任何集合的子集 空集 空集是任何非空集合的真子集 [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)

(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x,y)|y＝x2＋1}．( ) (2)若{x2,1}＝{0,1},则x＝0,1.( ) (3)?∈{0}．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题

1．已知集合P＝{－2,－1,0,1},集合Q＝{y|y＝|x|,x∈P},则Q＝________. 解析：将x＝－2,－1,0,1分别代入y＝|x|中,得到y＝2,1,0,故Q＝{2,1,0}． 答案：{2,1,0}

2．已知非空集合A满足：①A?{1,2,3,4}；②若x∈A,则5－x∈A.则满足上述要求的集合A的个数为________．

解析：由题意,知满足题中要求的集合A可以是{1,4},{2,3},{1,2,3,4},共3个． 答案：3

3．设集合M＝{1,x,y},N＝{x,x2,xy},且M＝N,则x2 019＋y2 020＝________.

22???x＝1，?x＝y，

解析：因为M＝N,所以?或?由集合中元素的互异性,可知x≠1,解得

??xy＝yxy＝1，??

A?B且B?A?A＝B ??A ?B且B≠?

??x＝－1，

?所以x2 019＋y2 020＝－1. ?y＝0.?

答案：－1

4．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的值是________．

解析：因为集合A有且只有2个子集,所以A仅有一个元素,即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时,A＝{0}符合题意；②当a≠0时,要满足题意,需有Δ＝ 4－4a2＝0,即a＝±1.综上所述,a＝0或a＝±1.

答案：0或±1

[典例感悟]

1．(2019·厦门一中模拟)设集合M＝{x|x＝2m＋1,m∈Z},P＝{y|y＝2m,m∈Z},若x0∈M,y0

∈P,a＝x0＋y0,b＝x0y0,则( )

A．a∈M,b∈P C．a∈M,b∈M

B．a∈P,b∈M D．a∈P,b∈P

解析：选A 设x0＝2n＋1,y0＝2k,n,k∈Z,则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M,x0y0

＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P,即a∈M,b∈P,故选A.

2．(2019·广州模拟)已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1},则实数a的值为( ) A．－1 C．1

解析：选A 依题意知a≠0,则{0,－a}＝{0,1},所以a＝－1.故选A.

3．(2019·湖南长郡中学选拔考试)已知集合A＝{0},B＝{－1,0,1},若A?C?B,则符合条件的集合C的个数为( )

A．1 C．4

B．2 D．8 B．0 D．2

解析：选C 由题意得,含有元素0且是集合B的子集的集合有{0},{0,－1},{0,1},{0,－1,1},即符合条件的集合C共有4个．

[方法技巧]

1．与集合概念有关问题的求解策略 (1)确定构成集合的元素是什么,即确定性．

(2)看这些元素的限制条件是什么,即元素的特征性质．

(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围,或确定集合中元素的个数,要注意检验集合

中的元素是否满足互异性．

2．判断集合间关系的常用方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集合之间的关系 从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进行判断 在同一个数轴上表示出两个集合(集合为数集),比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系 结构法 数轴法 3.集合的子集、真子集的个数 含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集,有2n－1个非空子集,有2n－1个真子集,有2n

－2个非空真子集．

[针对训练]

1．设集合A＝{0,1,2,3},B＝{x|－x∈A,1－x?A},则集合B中元素的个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选A 若x∈B,则－x∈A,故x只可能是0,－1,－2,－3,当0∈B时,1－0＝1∈A；当－1∈B时,1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时,1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时,1－(－3)＝4?A,所以B＝{－3},故集合B中元素的个数为1.

2．(2019·贵阳高三检测)设集合P＝{x|x<1},Q＝{x|x2<1},则( ) A．P?Q C．P??RQ

B．Q?P D．Q??RP

解析：选B 依题意得Q＝{x|－1

3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5},B＝{x|m＋1≤x≤2m－1},若B?A,则实数m的取值范围为________．

解析：∵B?A,∴①若B＝?,则2m－1

②若B≠?,则?m＋1≥－2，

??2m－1≤5.解得2≤m≤3.

由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(－∞,3]． 答案：(－∞,3]

突破点二 集合的基本运算

[基本知识]

1．集合的三种基本运算 符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集 A∪B A∪B＝{x|x∈A,或x∈B} 集合的交集 A∩B A∩B＝{x|x∈A,且x∈B} 集合的补集 若全集为U,则集合A的补集为?UA ?UA＝{x|x∈U,且x?A} 2.集合基本运算的常见性质 (1)A∩A＝A,A∩?＝?. (2)A∪A＝A,A∪?＝A. (3)A∩?UA＝?,A∪?UA＝U,?U(?UA)＝A.

(4)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?.