三角函数与平面向量的综合应用

精品资料 欢迎下载

三角函数与平面向量的综合应用

【要点梳理】

1． 三角恒等变换

(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2． 三角函数的性质

(1)研究三角函数的性质，一般要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t＝ωx＋φ，y＝Asin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3． 解三角形

解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4． 平面向量

平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．

【自我检测】

1． 已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．

11π9π???cos??2－α?sin?2＋α?2． 已知f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.

π

0，?)图3. 如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|∈??2?

象的一部分，则f(x)的解析式为____________．

4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使

AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝________.

5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB→→

＝3，P是BC上的一个动点，当PD·PA取得最小值时，tan∠DPA的

π?cos??2＋α?sin?－π－α?

精品资料 欢迎下载

值为________．

【题型深度剖析】

题型一 三角恒等变换

π3sin α－cos 2α＋1π3π

α－?＝，求例1 设<α<，sin?的值． ?4?534tan α

思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系．

探究提高 三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响． π43?α＋7π?的值是 α－?＋sin α＝【训练1】已知cos?，则sin6??6??5

23A．－

5

234 B. C．－

55

( )

4

D.

5

题型二 三角函数的图象与性质

ππ

例2 (2011·浙江)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<，y＝f(x)的部分图象如图

32所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；

2π

(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．

3

思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．

探究提高 本题确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A是本题的难点．

【训练2】已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并1

且当x＝时，f(x)max＝2.

3

2123?

(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间??4，4?上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．

精品资料 欢迎下载

题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用 xxx3sin ，1?，n＝?cos ，cos2?. 例3 已知向量m＝?4?44???2π?

(1)若m·n＝1，求cos??3－x?的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．

思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC中，求出∠A的范围，再求f(A)的取值范围．

探究提高 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．

【训练3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0.

(1)判断△ABC的形状；

(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值．

【高考中的平面向量、三角函数客观题】

πxπ?典例1：(5分)(2012·山东)函数y＝2sin??6－3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )

A．2－3

B．0

C．－1

D．－1－3

考点分析 本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想． ππ

解题策略 根据整体思想，找出角x－的范围，再根据图象求函数的最值．

63

解后反思 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)可看作由函数y＝Asin t和t＝ωx＋φ构成的复合函数． (2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到．

精品资料 欢迎下载

→→

典例2：(5分)(2012·天津)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，

→→→→

AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ等于 1A. 3

2B. 3

4C. 3

( )

D．2

考点分析 本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力．

→→→→

解题策略 根据平面向量基本定理，将题中的向量BQ，CP分别用向量AB，AC表示出来，再进行数量积计算．

解后反思 (1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础；(2)本题在求解过程中利用了方程思想．

【感悟提高】

方法与技巧

1．研究三角函数的图象、性质一定要化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后利用数形结合思想求解．2．三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解． 失误与防范

1．三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围；2．向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角．

【专项训练1】

→→

1． (2012·大纲全国)△ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|

→

＝2，则AD等于

( )

11223344A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b 33335555

2． 已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是( )

πA. 2

B．π

C．2π

D．4π

3． 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，

sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为

( )

精品资料 欢迎下载

ππA.， 63

2ππB.， 36

ππC.， 36

ππD.， 33

→→→→→

4． 已知向量OB＝(2,0)，向量OC＝(2,2)，向量CA＝(2cos α，2sin α)，则向量OA与向量OB

的夹角的取值范围是 π

0，? A.??4?

( )

π5?5π

，π C.?π，? B.??412??122?π5?

D.??12，12π?

π

5． (2012·北京)在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝，则∠C的大小为________．

36． 在直角坐标系xOy中，已知点A(－1,2)，B(2cos x，－2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x∈[0，

→→

π]，若AB⊥OC，则x的值为______．

1＋sin2x

7． 已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则2＝

cosx－sin 2x

________.

π3π?8． (10分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈??2，2?.

2sin2α＋sin 2α→→→→

(1)若|AC|＝|BC|，求角α的值；(2)若AC·BC＝－1，求的值．

1＋tan α

9． (12分)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsin A.

(1)求B的大小；(2)求cos A＋sin C的取值范围．

【专项训练2】

π1

x＋?，若a＝f(lg 5)，b＝f?lg ?，则 1． (2012·江西)已知f(x)＝sin2??4??5?

A．a＋b＝0

B．a－b＝0 C．a＋b＝1

D．a－b＝1

( )