近代概率论基础第一章作业解答（参考）

第一章作业题解答参考 3.A1热A2L?AnA1+(A2\\A1)+[A3\\(A1?A2)]L+[An\\(A1热A2L An-1)].

8.(3)提示：令a-c=k，即证

c骣骣骣骣aba+b a鼢珑 珑鼢= 或?珑?珑鼢珑 c 鼢 珑k+(a-c)kc-桫桫桫k=0k=0桫c骣骣ba+b 鼢 鼢= 此式我们已证。

c 鼢 k鼢k桫桫16． P({xm=M})=CM-1CN-CnnNm-1n-mM。（注意不能写成阶乘的形式，请考虑为什么？）

iin邋C17．P({xm=M})=i=1[k=1Cn-m-ki(M-1)m-k(N-M)Nnn-m-(i-k)1{m-k?0}{n1m-(i-k) 0}]

关键看共取出几个M。

22．法一：看1号位为“男”还是“女”。 m!Cm?n!mC!m-1 n! 。

(m+n)!nn-1法二：先在直线上排，再减去多出的。

19m!Cm+1?n!m!(Cn鬃2!)Cm-1(n-2)!(m+n)!1313n2n-1

25．

C4C48C39C26C52C39C26131313?C4C48C521319

27．几何概型（平面上的区域）

1124?24(21?21)(20 20)22 。

24′2430．几何概型（空间正方体的某块体积） 42．解：设N阶行列式

a11A=a21MaN1a12a22MaN2LLOLa1Na2NMaNN12。

，

根据行列式的定义，

A=?(-1)t(j1j2LjN)a1j1a2j2LaNjN

其中j1,j2,LjN为1,2,L,N的任一重排，t(j1j2LjN)表示此排列的逆序数。

现在，我们做实验：从所有项(-1)t(j1j2LjN) a1j1a2j2LaNjN中任取一个,观察该项情况。

（注意：ji为1,2,L,N中的任一数的可能性是相等的。）

令B={该项包含主对角元素}，Bi={ji=i},i=1,2,L,N. 则B=B1热B2于是

p(B)=1-12!+13!-L+(-1)N-1L BN

1N!。 （此即为“匹配问题”）

故展开式中包含主对角元素的项数应为：N!×P(B)。 48．证明：设A={[a,b)|a,b R}，C={(-ノ,x)|xR}， 根据一维博雷尔s域的定

义可知：B=s(A)即包含集类A的最小s域。这样我们要证s(A)=s(C)。 事实上，一方面，因为对任意的a,b?R，有

[a,b)=(-?,b)(- ,a)，

故根据s域的定义：对任意的a,b?R，有[a,b)?s(C)，故Aìs(C)，即s(C)为包含

A的s域。又因为s(A)为包含A的最小s域，故s(A)ìs(C)。

另一方面，因为对任意的x?R，有

+ (-?,x)U[-k=1k,x),(如果-k?x,我们规定(k,x)= .)，

故根据s域的定义：对任意的x?R，有(-ノ,x)s(A)，故Cìs(A)，即s(A)为包

含C的s域。又因为s(C)为包含C的最小s域，故s(C)ìs(A)。 因而我们有：s(A)=s(C)。