2019年高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若复数z＝A．i
，则其虚部为（ ） B．2i
C．﹣2
D．2
2．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（ ） A．0 3．（5分）函数
B．1
C．2
的图象的大致形状是（ ）
D．3
A． B．
C． D．
4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，|A．2
B．
C．
|＝，则|
D．
|＝（ ）
5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（5分）设x，y满足约束条件A．0
B．2
，则Z＝3x﹣2y的最大值是（ ） C．4
D．6
7．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（ ）（
1
≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）
A．6 B．12 C．24 D．48
8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为（ ）
9．（5分）在等比数列{an}中，a1+an＝34，a2?an﹣1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n等于（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
＝2，则不等式f（log4x）
10．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且＞2的解集为（ ） A．
B．（2，+∞）
11．（5分）设f（x）＝x3+log2（x+A．f（a）+f（b）≤0 C．f（a）﹣f（b）≤0
12．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：
﹣
），则对任意实数a、b，若a+b≥0，则（ ）
B．f（a）+f（b）≥0 D．f（a）﹣f（b）≥0
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲
线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ） A．
1
B． C．2 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）
13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为
．若
a2sinC＝4sinA，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝﹣
+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是 ．
15．（5分）已知不等式ex﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值 16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为
时，实数λ的值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答） 17．（12分）已知数列{an}中，a1＝4，an＞0，前n项和为Sn，若an＝（l）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{
}前n项和为Tn，求证
+
，（n∈N*，n≥2）．
18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abccosC． （1）求角B的大小； （2）若sinA+1﹣
（cosC）＝0，求的值．
19．（12分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，
O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP． （1）求证：PA⊥BD；
（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．
1
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．
（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围； （2）函数
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10分）已知曲线C的参数方程为﹣8＝0．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线． （2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值． [选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）． （1）作出函数f（x）的图象；
（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．
（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ
有几个零点？
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