2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limsinx(cosx?b)?5，则a =______，b =______.
x?0ex?a(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0，则
?2f??u?v.
11?x2xe,??x??22，则12f(x?1)dx?(3) 设f(x)???21??1,x?2?.
(4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 . (5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?_______. (6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2),X1,X2,?Xn1和
Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1?? E???n1?n2?2??????.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3). [ ]
(A) (?1 , 0).
1??f(),x?0(8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a， g(x)??x，则
x????0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ] (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则
(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.
1
(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. (10) 设有下列命题：
(1) 若
[ ]
n?1??(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.
n?1?? (2) 若
n?1?un收敛，则?un?1000收敛.
n?1?
?un?1(3) 若lim?1，则?un发散.
n??unn?1 (4) 若
n?1?(un?vn)收敛，则?un，?vn都收敛.
n?1n?1???则以上命题中正确的是
(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ] (11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是
(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0. (D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.
[ D ]
(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有
(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a.
(C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. [ ] (13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.
[ ]
(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,
若P{|X|?x}?α, 则x等于 (A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α. [ ]
2三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)
1cos2x求lim(2?). 2x?0sinxx1
(16) (本题满分8分)
求
222222，其中D是由圆和x?y?4(x?1)?y?1所围成的 (x?y?y)d???D平面区域(如图).
(17) (本题满分8分) 设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足
?axf(t)dt??g(t)dt，x ? [a , b)，?f(t)dt??g(t)dt.
aaabbaaxbb证明：?xf(x)dx??xg(x)dx.
(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 ? 5P，其中价格P ? (0 , 20)，Q为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)； (II) 推导
dR?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP降低价格反而使收益增加.
(19) (本题满分9分) 设级数
x4x6x8????(???x???) 2?42?4?62?4?6?8的和函数为S(x). 求：
(I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式.
(20)(本题满分13分)
设α1?(1,2,0)T, α2?(1,α?2,?3α)T, α3?(?1,?b?2,α?2b)T, β?(1,3,?3)T, 试讨论当a,b为何值时,
(Ⅰ) β不能由α1,α2,α3线性表示;
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