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乘、除法的运算律和性质
一、考点、热点回顾
我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。 1、乘法的运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即
a×b=b×a。
其中，a，b为任意数。例如，35×120=120×35=4200。
乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。
注意：(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。
(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有
a×b×c=b×(a×c)等
乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即
(a+b)×c=a×c+b×c，
(a-b)×c=a×c-b×c。
2、除法的运算律和性质
商不变性质：（1）被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即
a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)
=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)
(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后
再求两个商的和(或差)。即
(a±b)÷c=a÷c±b÷c。
例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，(9-6)÷3=9÷3-6÷3。此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如
(1000-688-136)÷8=1000÷8-688÷8-136÷8=125-86-17=22。
(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即a÷b÷c=a÷c÷b。
在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，168÷7÷4÷3=168÷3÷4 ÷7=??
3.乘、除法混合运算的性质
1
(1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如，
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形： 括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即
a×(b×c)=a×b×c， a×(b÷c)=a×b÷c。
括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即
a÷(b×c)=a÷b÷c， a÷(b÷c)=a÷b×c。
添加括号情形：
加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即
a×b×c=a×(b×c)， a×b÷c=a×(b÷c)， a÷b÷c=a÷(b×c)， a÷b×c=a÷(b÷c)。
(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即
(a×b)÷(c×d) =(a÷c )×(b÷d) =(a÷d)×(b÷c)。
上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。
二、典型例题
例1、计算下列各题：
(1)17×4×25； (2)125×19×8； (3)125×72； (4)25×125×16。
分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。 解：(2)125×19×8 (3)125×72 (4)25×125×16或 25×125×16 =(125×8)×19 =125×(8×9) =25×125×2×8 =25×125×4×4 =1000×19 =(125×8)×9 =(25×2)×(125×8) =(25×4)×(125×4) =19000； =1000×9 =50×1000 =100×500
=9000； =50000， =50000。
例2、计算下列各题：
2
(1)125×(40+8)； (2)(100-4)×25； (3)2004×25； (4)125×792。
解：(1)125×(40+8) (2)(100-4)×25 (3)2004×25 (4)125×792 =125×40+125×8 =100×25-4×25 =(2000+4)×25 =125×(800-8) =5000+1000 =2500-100 =2000×25+4×25 =125×800-125×8
=6000； =2400 =50100 =1000 例3、计算：
(1)425÷25； (2)3640解：(1)425÷25 (2)3640=(425×4)÷(25×4) =1700÷100 =364=17； =52例4、计算下列各题：
(1)(182+325)÷13； (2)(2046-1059-735)(3)775÷25； (4)2275解：(1)(182＋325)÷13 (2)(2046-1059-735)=182÷13+325÷13 =2046=14+25 =682-353-245 =39； =84
(3)775÷25 (4)2275=(700+75)÷25 =2275
； =50000+100 =(125×8)×100-1000 ； =1000×100-1000 ×(100-1)=9900 ÷70。 ÷70
=(3640÷10)÷(70÷10) ÷7 。 ÷3； ÷13÷5。 ÷3 ÷3-1059÷3-735÷3 ； ÷13÷5 ÷5÷13 3
=700÷25+75÷25 =455÷13 =28+3=31； =35。 例5、计算下列各题：
（1）136×5÷8 (2)4032÷(8×9) =136÷8×5 =4032÷8÷9 =17×5=85； =504÷9=56； (3)125×(16÷10) (4)2560÷(10÷4) =125×16÷10 =2560÷10×4 =256×4 ＝1024； (5)2460÷5÷2 (6)527×15÷5 =2460÷(5×2) =527×(15÷5) =2460÷10 =527×3 =246； =1581； (7)(54×24)÷(9×4) =(54÷9)×(24÷4) = 6×6=36。
三、习题练习
1、用简便方法计算下列各题。
(1)12×4×25； (2)125×13×8；(3)125×56； (4)25×32×125。答案：(1)1200；(2)13000；(3)7000；(4)100000 2、用简便方法计算下列各题。
(1)125×(80+4)； (2)(100-8)×25；
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