二次函数与幂函数
【考纲要求】
1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。 2．幂函数
(1)了解幂函数的概念．
(2)结合函数y?x(??1,2,3,?1,)的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】
?12基 本 初 等 函 数 常数函数 一次函数 二次函数
幂函数
图象与性质
【考点梳理】
考点一、初中学过的函数 （一）函数的图象与性质 常 函 数 一次函数 表达式 y?ax?by?a（a?R）（a?0） 式子中字母的含 义及范围限定 图象、及其与坐 标轴的关系 单 调 性 要点诠释： 1.过原点的直线的方程,图象,性质； 2.函数的最高次项的系数能否为零。 （二）二次函数的最值
1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：y?ax?bx?c（a?0），
2
反比例函数 二次函数 ky?（k?0） x y?ax2?bx?c （a?0） 顶点式：y?a(x?h)?k（a?0），其中顶点为(h,k)，对称轴为直线x?h， 零点式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0），其中x1,x2是方程ax?bx?c?0的根 2. 二次函数y?ax?bx?c（a?0）在区间[p,q]上的最值：
222二次函数y?ax?bx?c（a?0）在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0?21(p?q). 2
（1） （2） （3） （4）
b?p，则f(x)min?f(p)?m，f(x)max?f(q)?M； 2abb（2）若p???x0，则f(x)min?f(?)?m，f(x)max?f(q)?M；
2a2abb（3）若x0???q，则f(x)min?f(?)?m，f(x)max?f(p)?M；
2a2ab（4）若q??，则f(x)min?f(q)?m，f(x)max?f(p)?M.
2a（1）若?要点诠释：
1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。 考点二、幂的运算 (1)anm?a ，amn?nm?111(m、n?N?,n?1) ； ?n，an=m=nmaaan(2)
?a?nn(a?0)?a ?a(n?N,n?1) ，a?a(n?1,n为奇数），a＝a??。 (n是正偶数）?a (a?0)?nnnn考点三、幂函数的图象与性质
1.幂函数y?x(x?R)在第一象限的图象特征
?
2.幂函数y?x(x?R)性质：
（1）??1，图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如y?x； （2）0???1，图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如y?x；
（3）??0，图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如y?x,y?x要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。 【典型例题】
类型一：基本函数的解析式问题
?1?12122?
例1．已知二次函数f(x)满足f(x?2)?f(?x?2)，且图像在y轴上截距为1，在x轴截得的线段长为22，求f(x)的解析式.
【解析】用待定系数法求f(x)，选择适当的二次函数的形式。 方法一：设f(x)?ax?bx?c（a?0），
则c?1，且对称轴x??22b??2，即b?4a， 2a∴f(x)?ax?4ax?1，
116a2?4a∵|x1?x2|??22 ， ∴a?
2|a|∴f(x)?12x?2x?1 2方法二：∵f(x?2)?f(?x?2)，∴二次函数的图象的对称轴为x??2，
可设所求函数为f(x)?a(x?2)?h（a?0），
∵f(x)截x轴上的弦长为22， ∴f(x)的图像过点(?2?2,0)和(2?2,0)，
2∴a[(2?2)?2]?h?0，即2a?h?0 （1）
2又∵f(x)的图像过点(0,1)， ∴4a?h?1 （2）
1，h??1， 21122∴f(x)?(x?2)?1，即f(x)?x?2x?1.
22方法三：∵y?f(x)的图象对称轴x??2， 又|x1?x2|?22,
（1）（2）联立，解得a?∴f(x)与x轴的交点为(?2?2,0)和(2?2,0)， 故可设f(x)?a(x?2?2)(x?2?2)（a?0）， 由f(0)?1可得 a?∴f(x)?1. 211(x?2?2)(x?2?2)，即f(x)?x2?2x?1. 222【总结升华】二次函数的形式有以下三种： （1）一般形式：f(x)?ax?bx?c（a?0），
（2）顶点式（或称配方式）f(x)?a(x?k)?h（a?0），
（3）零点式（或称双根式）f(x)?a(x?x1)(x?x2)（a?0），（前提：有根）
对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充分挖掘题目的隐
含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。
举一反三：
2【变式】已知二次函数y?f(x)的对称轴为x??2，截x轴上的弦长为4，且过点(0,?1)，求函数的解析式
2【答案】∵二次函数的对称轴为x??2，可设所求函数为f(x)?a(x?2)?b，
又∵f(x)截x轴上的弦长为4，∴f(x)过点(?2?2,0)和(?2?2,0)，
f(x)又过点(0,?1)，
1?a??4a?b?0?∴?，解得?2， ?2a?b??1??b??2∴f(x)?11(x?2)2?2，即f(x)?x2?2x?1. 22xxxx类型二：函数的图象和性质
例2. 下图是指数函数（1）y?a，（2）y?b，（3）y?c，（4）y?d的图象，则a、b、c、
d与1的大小关系是（ ）
A.a?b?1?c?d B.b?a?1?d?c C.1?a?b?c?d D.a?b?1?d?c
【解析】可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小.
【答案】B
【总结升华】可以依据函数系的性质和图象变化解答，但作为选择题更多地利用特殊点解决.
举一反三：
2x【变式】在f1(x)?x，f2(x)?x，f3(x)?2，f4(x)?log1x四个函数中，x1?x2?1时，能使
122x?x1[f(x1)?f(x2)]?f(12)成立的函数是（ ） 22A. f1(x)?x
122 x
B. f2(x)?xC. f3(x)?2
D. f4(x)?log1x
2【答案】A ；由图形可直观得到：只有f1(x)?x为“上凸”的函数.
x?m?|x|,f(x)? 其中m?0，若存在实数b，使得关于x的方例3.（2017年山东卷）已知函数?2?x?2mx?4m,x?m12程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.
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