曲面论高斯方程公式的几种形式的推导方法

曲面论高斯方程公式的几种形式的推导方法

邢家省1，高建全2，罗秀华2

【摘 要】考虑曲面论高斯方程公式的表示问题.运用曲面上基本方程的矩阵表示法，给出高斯方程直接的显式公式表示；指出高斯曲率简化公式的推导来源，揭示出高斯曲率隐式公式的发现过程，并给出了Liouville形式的高斯方程的证明过程.【期刊名称】吉首大学学报（自然科学版）【年(卷),期】2015(036)002【总页数】8

【关键词】曲面论基本方程；矩阵表示法;高斯方程；Liouville形式

曲面上的高斯曲率的定义和计算公式是经典曲面论的重要内容[1-12].曲面上的高斯曲率是曲面的内蕴量[1-6]，这个重要结果是高斯于1827年发现的著名定理，称为高斯绝妙定理[2,6]或曲面论的高斯方程.该定理的原始表述形式是用曲面上的第1类基本量的隐式表达的.给出高斯方程的显式表达，是人们所追求的，而现有文献中给出的推导过程相当繁杂，不利于理解和掌握.笔者发现采用曲面论基本方程的矩阵表示法，运用矩阵运算就可以很简明地推导出高斯方程的显式表达[12].对正交曲线坐标网下高斯曲率的简化计算公式[1-6]，笔者也给出了导致发现的过程.高斯曲率是内蕴量的隐式公式[1-7,9]，人们通常都是采用验证的方式[7,9]，没有指出这种公式是如何合理发现的，笔者给出了导致发现的推导过程.对Liouville形式的高斯方程也给出了推导过程[5].

1 曲面论的基本方程的矩阵方程表达形式

给出C3类的正则曲面Σ:r=r(u1,u2),(u1,u2)∈Δ.按照文献[1-6，9-11]中的符号体系，给出如下一系列记号：

；g11g22-g12g21=g；，命

是A=(gij)的逆矩阵；，.

将曲面的基本方程改写成矩阵方程的形式为[1-6,9-12]：(1)，