第23课时 平均数及其估计
【学习导航】
学习要求
1． 知道平均数是对调查数据的一种简明的描述，它表示变量一切可能值的算术平均值，从而实现对总体可靠度的估计，学习时仔细体会它的实际意义。
2． 熟练掌握平均数的计算公式。
【课堂互动】
自学评价 案例 某校高一（1）班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学两人一组，在相同的条件下进行测试，得到下列实验数据（单位：m/s2）:
9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32
9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94
9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90
怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？ 【解析】
我们常用算术平均数1n?nai（其中
i?1ai(i=1，2，…，n) 为n个实验数据）作为重力加速度的“最理想”的近似值．它的依据是什么？
处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小．
设这个近似值为x，那么它与n个实验值ai(i=1，2，…，n)的离差分别为x?a1，
x?a2，…，x?an．由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究|x?a1|+|x?a2|+…+|x?an|取最小值时x的值．但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，即(x?a21)+(x?a22)+…+(x?an)2，当此和最小时，对应的x的值作为近似值，因为 (x?a1)2+(x?a22)2+…+(x?an) =
nx2?2(a?a2212?????an)x?a21?a2?????an，
所以当x?1n(a1?a2?????an)时离差
的平方和最小，故可用1n(a1?a2?????an)作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这n个数据a1，a2，…，an的平均数或均
值，一般记为 a?1n(a1?a2?????an)． 用计算器操作，验证：求得重力加速度的最佳近似值为x?9.774 m/s2． 【小结】
1． n个实数a1,a2,a3,?,an的和简记为 。
2.已知n个实数a1,a2,a3,?,an，则称 为这n个数据的平均数(average)或均值(mean)
3.若取值为x1,x2,?,xn的频率分别为
p1,p2,?，pn，则其平均数为
。
【经典范例】
例1 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150），试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些。
甲班 112 86 106 84 100 87 112 94 94 99 108 100 96 115 111 104 107 119 107 93 92 102 93 84 94 105 98 102 94 107 90 120 98 95 119 104 95 108 111 105 102 98 112 112 99 94 100 90 84 114 乙班 116 95 109 96 106 94 98 105 101 115 108 100 110 98 107 107 106 111 121 97 107 111 114 106 104 98 108 99 110 103 104 112 101 113 96 87 108 106 103 97 107 114 122 101 107 104 95 111 111 110 【分析】我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可。 【解】
例2 下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表（单位：h），试估计该学生的日平均睡眠时间。 睡眠时间 人 数 频 率 ?6,6.5? 5 0.05 ?6.5,7? 17 0.17 ?7,7.5? 33 0.33 ?7.5,8? 37 0.37 ?8,8.5? 6 0.06 ?8.5,9? 2 0.02 100 1 【分析】要确定这100名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间，由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示。 【解】
例3 某单位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入。 【分析】上述比就是各组的频率 【解】
例4学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估，成绩如下表： 工作教学业务态度 成绩 学习 王老师 98 95 96 张老师 90 99 98 (1)如果以工作态度、教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩，作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？
(2)如果三项成绩的比例依次为20%、60%、20%来计算他们的成绩，结果又会如何？ 【解】
追踪训练 1．期中考试之后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M为( ) NA．40 B．1 C．41 D．2
41402．从某校全体高考考生的数学成绩中任意抽取20名考生的成绩（单位：分，总分：150分）为102,105,131,95,83,121,140,100,97,96, 95,121,124,135,106,109,110,101,98,97，试估计该校全体考生数学平均成绩。 解：
3．某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%，50%，10%，10%。 （1） 若全班共10人，则平均分是多少？ （2） 若全班共20人，则平均分是多少？ （3） 如果该班人数未知，能求出该班的平均
分吗？
解：
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