男孩
表1.4 性别战博弈 女孩 足球 芭蕾 足球 2，1 0，0 芭蕾 0，0 1，2
这也是一个有限博弈。有两个(纯策略)纳什均衡（足球，足球），（芭蕾，芭蕾）。
例1.3：猜谜游戏（Matching the Pennies）
两个小孩子手里各拿着一枚硬币，决定要出示正面或反面。如果两个小孩子出示了相同的面，则小孩子1付给小孩子2一分钱；否则，小孩子2输给小孩1一分钱。表1.5给出了这个博弈的支付矩阵。
表1.5 猜谜游戏 小孩2 正面 反面 正
–1，1 1，–1 小孩面 1 反
1，–1 –1，1 面
这仍是一个有限博弈。但是没有纯策略纳什均衡。
例1.4：石头，剪子，布（Rock，Scissor，Cloth） 回忆孩提时代玩过的游戏。我们想少不了有一种游戏大家都曾玩过，就是“石头、剪子、布”。这种游戏有古老的起源，甚至世界各地都有类似玩法。“石头、剪子、布”游戏有两个玩家，游戏规则是这样的：石头胜剪子，剪子胜布，而布胜石头。譬如，当一方出石头而另一方出布时，后者就赢了前者。如果双方都选择相同的行动，则为平局。表1.6给出了“石头、剪子、布”的一种策略式表述。
表1.6 “石头、剪子、布”博弈 2 石头 剪子 布 石
0，0 1，–1 –1，1 头 1 剪
–1，1 0，0 1，–1 子
布 1，–1 –1，1 0，0
这还是一个有限博弈。没有纯策略纳什均衡。 对于更加复杂的非有限博弈的均衡求解，我们将运用一种被称为最优反应函数的工具，且通过微分学方法来求解纳什均衡。
定义1.4 （最优反应函数）对于每个参与人i?N，定义一有如下特性的函数Bi：给定其他参与人的行动组合a?i,Bi(a?i)为其最优行动的集合，即Bi(a?i)?{ai?Ai:ui(ai,a?i)?ui(ai',a?i),?ai'?Ai,ai'?ai}。我们称Bi为参与人i的最优反应函数（Best Response Function）。(符号?表示“对于所有”的意思)
这里，最优反应函数是一种集值函数（set-valued function，也称为“对应”（correspondence）），即Bi(a?i)是Ai的一个子集而非一个点。我们允许Bi(a?i)为空集的可能。它还可能是仅仅包括一个元素的单元集或单点集。
用最优反应函数也可以将纳什均衡如下定义。
**定义1.5：一个纳什均衡是满足ai*?Bi(a?i),?i?N的组合a
例1.5古诺博弈与反应函数
数理经济学的先驱古诺（Cournot，1838）在其超越时代的名著《财富理论数学原理的研究》中提出的寡头竞争模型，一直是博弈论和产业组织理论讨论中经久不衰的话题。
安东尼·奥古斯丁·古诺是法国数学家、经济学家和哲学家，数理统计学的奠基人。古诺1801年8月28日出生于法国格雷，1877年3月31日在巴黎逝世；最先力图用数学方法解决经济问题，是数理经济学的创始人之一。
古诺的人生道路并不坎坷。他受教于著名的巴黎高等师范学校，获巴黎大学博士学位。他曾在巴黎大学和里昂大学任教，担任格勒诺布尔学院院长，成为法国勋级会荣誉军团成员，并被任命为巴黎的教育巡视员。尽管他视力一直很差，晚年几近失明，但生活还是安逸的。他在数学、科学哲学和历史哲学、经济学方面都有造诣。他在今天的名声主要来自经济学。
假定两个完全相同的企业生产相同的一种商品。第i个企业生产qi单位产出的成本为Ci(qi)?cqi,i?1,2。进一步，假设所有企业生产的总产出为Q，且需求函数为线性函数：如果Q?a，P(Q)?a?Q，否则为零；其中a?0，c?0皆为常数，且c?a（否则企业在任何情况下都不会有利润）。于是，企业1的利润为：
?q1(a?c?q1?q2) 若 q1?q2?a ?1(q1,q2)?q1(P(q1,q2)?c)???cq 若 q?q?a,?112注意，由于任何qi?a都会带来零价格并使企业i亏损，故任
何这样大的qi都是不合理的。因此我们假定qi不能超过a。
在这里，参与人是两个企业，而策略是他们各自的产量规模qi,i?1,2。对于这样的无限博弈（参与人的纯策略有无限多个），我们需要运用反应函数概念进行求解。
为了确定企业1的最优反应函数，我们先将q2视为给定，计算企业1的利润最大化的产量，即
?1(q1,q2)?q1(P(q1,q2)?c)???q1(a?c?q1?q2) 若 q1?q2?a??cq1 若 q1?q2?a,
我们通过“配方”的方法来将这个函数整理成可以求解最优企业 1最优策略的表达式：
?q1(a?c?q1?q2) 若 q1?q2?a?1(q1,q2)?q1(P(q1,q2)?c)????cq1 若 q1?q2?a,????a?c?q2?q1?(a?c?q2)?(a?c?q1?q2) 若 q1?q2?a?????cq1 若 q1?q2?a,??(a?c?q2)2(a?c?q2)2?2?? ?(a?c?q2?q1)?(a?c?q2)(a?c?q1?q2)??若 q1?q2?a44???????cq 若 q?q?a,?1122??(a?c?q2)?(a?c?q2)2?????? ???(a?c?q2?q1)??若 q1?q2?a?24???????????cq1 若 q1?q2?a,2?(a?c?q2)2?(a?c?q2)???(a?c?q2?q1)?若 q1?q2?a? ???42????cq 若 q?q?a,?112显然，最大化企业1支付（利润）的策略应该使得(a?c?q2)??(a?c?q?q)?=0，当q1?a?q2,q2?a;(下面验证结果满足该假设）21??2??q1=0,当q2?a.于是，第一种情形为(a?c?q2)=02(a?c?q2)q1=(a?c?q2)?2(a?c?q2)=2(a?c?q2)要求?a?q22-c?a?q2(a?c?q2?q1)?2
这在假设条件下显然成立。
但是，因为q1?0，所以还要求q2?a?c，否则显然应该有q1?0。
这样，我们得到企业1在给定企业2的产出水平下的最优产出 q1，或企业1的最优反应函数：
??(a?c?q2)/2若q2?a?c b1(q2)??? 0??若q2?a?c。
根据对称性，企业2的反应函数应具有与b1(q2)相同的形式，即b2(q)?b1(q)。我们在图2.2中给出了这两个反应函数的图像（粗线对应于b1(.)，细线对应于b2(.)）。
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